Question

17．如图，△ABC中，AB=AC=1，∠ABC的平分线交AC于D，若∠A=36°，则cosA等于$\frac{\sqrt{5}+1}{4}$．

Answer 1

分析 易证得△CBD∽△CAB，然后设AD=x，则BC=x，CD=1-x，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得AD的长，作DE⊥AB，垂足为E，可得AE=$\frac{1}{2}$AB，在Rt△ADE中，cosA=cos36°=$\frac{AE}{AD}$，即可求得答案．

解答 解：∵△ABC中，AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=$\frac{180°-36°}{2}$=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD=$\frac{1}{2}$∠ABC=36°．
∵∠A=∠CBD，∠C=∠C，
∴△CBD∽△CAB，
∴$\frac{CB}{CA}$=$\frac{CD}{CB}$，
∴CB²=CA•CD，
设AD=x，则BC=x，CD=1-x，
∴x²=1-x，
解得：x₁=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，x₂=$\frac{-\sqrt{5}-1}{2}$（不合题意，舍去），
∴AD=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．
作DE⊥AB，垂足为E，
∵AD=BD，DE⊥AB，
∴AE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$；
在Rt△ADE中，cosA=cos36°=$\frac{AE}{AD}$=$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}$=$\frac{\sqrt{5}+1}{4}$．
故答案为$\frac{\sqrt{5}+1}{4}$．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．