Question

如图，已知一次函数y=kx+3（k＜0）的图象分别交x轴、y轴于点A，B，且与反比例函数的图象在第二象限交于点C（m，6），CD⊥x轴于点D．
（1）m=______，一次函数的表达式为______；
（2）试证明线段OB是△ADC的中位线；
（3）若点P从点A沿线段AD向D运动，同时点Q从点C沿线段CA向点A运动，运动速度均为1个单位/秒．设运动时间为t秒，是否存在t值，使得A，P，Q为顶点的三角形与△ADC相似？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）解：把点C代入到，
解得m=-4，
所以函数式为：．

（2）证明：∵直线与x轴的交点为A（4，0）
又C（-4，0）
∴OD=OA=4
∴O是AD的中点
∵OB⊥x轴，CD⊥x轴
∴∠CDA=∠BOA=90°
又∠BAO=∠CAD
∴△BAO∽△CAD
∴
∴
∴点B是AC的中点
∴OB是△ADC的中位线．

（3）解：∵CD=6，AD=8
∴AC=10，
∴AQ=10-t，AP=t
①当时，△AQP∽△ACD，得
∴
②当时，△AQP∽△ADC，得
∴．
分析：（1）把点C代入到，求得m值，从而解得．
（2）O是AD的中点，又因为OB⊥x轴，CD⊥x轴，由△BAO∽△CAD证得点B是AC的中点，而证得．
（3）由CD=6，AD=8求得AC=10，由AQ=10-t，AP=t，通过两种情况而解得t的值．
点评：本题考查了一次函数的应用，考查了函数上的点，而求点中的坐标未知数，考查了一次函数与直角坐标系构成三角形的中位线，以及考查了一次函数上动点中未知数的求解．