Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=2，且抛物线经过A（﹣1，0），C（0，﹣5）两点，与x轴交于点B．

（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；
（2）设点P为抛物线上的一个动点，连接PB、PC，若△BPC是以BC为直角边的直角三角形，求此时点P的坐标；
（3）在抛物线上BC段有另一个动点Q，以点Q为圆心作⊙Q，使得⊙Q与直线BC相切，在运动的过程中是否存在一个最大⊙Q？若存在，请直接写出最大⊙Q的半径；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵对称轴为x=2，且抛物线经过A（﹣1，0），

∴B（5，0）．

把B（5，0），C（0，﹣5）分别代入y=mx+n得 ，解得： ，

∴直线BC的解析式为y=x﹣5．

设y=a（x﹣5）（x+1），把点C的坐标代入得：﹣5a=﹣5，解得：a=1，

∴抛物线的解析式为：y=x2﹣4x﹣5

（2）

解：①过点C作CP1⊥BC，交抛物线于点P1，如图，

则直线CP1的解析式为y=﹣x﹣5，

由 ，解得： （舍去）， ，

∴P1（3，﹣8）；

②过点B作BP2⊥BC，交抛物线于P2，如图，

则BP2的解析式为y=﹣x+5，

由 ，解得： （舍去）， ，

∴P2（﹣2，7）

（3）

解：由题意可知，Q点距离BC最远时，半径最大．平移直线BC，使其与抛物线只有一个公共点Q（即相切），设平移后的直线解析式为y=x+t，

由 ，消去y整理得x2﹣5x﹣5﹣t=0，

△=25+4（5+t）=0，解得t=﹣ ，

∴平移后与抛物线相切时的直线解析式为y=x﹣ ，且Q（ ，﹣ ），

连接QC、QB，作QE⊥BC于E，如图，

设直线y=x﹣ 与y轴的交点为H，连接HB，

则 ，

∵CH=﹣5﹣（﹣ ）= ，

∴ = ，

∴ ，

∵ ，BC= ，

∴QE= ，

即最大半径为

【解析】（1）根据对称轴及A点坐标得出B点坐标，从而得出直线BC解析式，再由A、B、C三点坐标得出抛物线解析式；（2）分别过B、C两点作BC的垂线，得出垂线的解析式，与抛物线解析式联立解出P点；（3）平移BC到与抛物线刚好相切之处，此时的切点即为Q点，此时Q点距BC的距离最大，也就是半径最大．由于初中阶估没学点到直线的距离公式，那么这里可以用等面积法进行处理．设切线与y轴的交点为H，则△HBC与△QBC的面积相等，算出面积，再以BC为底，算出BC边上的高即为答案．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用二次函数的概念和二次函数的图象的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：一般式：y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c为常数)，则称y为x的二次函数；二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点．