Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y=分别与x轴、y轴交于A、B两点，点C是射线AB上一点，CD⊥x轴于点D，且CD=3．
（1）求证：△AOB∽△ADC；
（2）求线段AD的长度；
（3）在x轴上找一点E，连接CE，使得△ACE与△ACD相似（不包括全等），并求点E的坐标；
（4）在（3）的条件下，若点P、Q分别是线段AC、AE上的动点，连接PQ．设AP=EQ=m，是否存在实数m，使得△APQ与△AEC相似？如存在，请求出实数m的值；如不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵CD⊥x轴于点D，∠BOD=90°，
∴BO∥DC，
∴△AOB∽△ADC；

（2）解：∵直线y=分别与x轴、y轴交于A、B两点，
∴0=，
∴x=-3，
∴A点坐标为：（-3，0），
∴B点坐标为：（0，），
∵△AOB∽△ADC；
∴=，
∵AO=3，OB=，CD=3，
∴=，
∴AD=4，

（3）解：如图，过点C作EC⊥AC，交x轴于点E，
在Rt△ADC和Rt△ACE中，
∵∠CAD=∠CAE，
∴Rt△ACD∽Rt△AEC，
∴E点为所求，
又tan∠ACD=tan∠CED=，
∴DE=CD÷tan∠CED=3÷，
∴OE=OD+ED=，
∴E（ ，0）；


（4）解：这样的m存在．
在Rt△ACE中，由勾股定理得AC=5，
如图1，当PQ∥CE时，△APQ∽△ACE则 ，
解得 ，
如图2，当PQ⊥AE时，△APQ∽△AEC，
则 ，
解得 ．
故存在m的值是 或时，使得△APQ与△AEC相似．
分析：（1）根据BO∥DC，利用相似三角形的判定得出即可；
（2）利用△AOB∽△ADC，根据直线与坐标轴的交点坐标，得出AO，OB，的长度，求出AD即可；
（3）首先得出Rt△ACD∽Rt△AEC，再利用tan∠ACD=tan∠CED=，进而求出即可；
（4）在Rt△ADC中，由勾股定理得AC=5，当PQ∥CE时，△APQ∽△ACE，解得 ；当PQ⊥AE时，△APQ∽△AEC，则解得 ．
点评：此题主要考查了函数和几何图形的综合运用．解题的关键是会灵活的运用函数图象的性质和交点的意义求出相应的线段的长度或表示线段的长度，再结合具体图形的性质求解．