Question

若1×2×3×…×99×100=12ⁿM，其中M为自然数，n为使得等式成立的最大的自然数，则M（　　）

A、能被2整除，但不能被3整除

B、能被3整除，但不能被2整除

C、能被4整除，但不能被3整除

D、不能被3整除，也不能被2整除

Answer 1

分析：由于100！中含有3的48次方，和2的97次方，也就是4的48次方，由此即可确定1×2×3…×99×100 的结果包含因数12的最大次数是48，而且M中不含有质因数3，接着就可以确定选择项．

解答：解：1至100 中，
3的1次方的倍数共有100÷3，整商=33个
3的2次方的倍数共有100÷（3×3），整商=11个
3的3次方的倍数共有100÷（3×3×3），整商=3个
3的4次方的倍数共有100÷（3×3×3×3），整商=1个
所以 1×2×3…×99×100 的结果包含质因数3的次数是
33+11+3+1=48，
2的1次方的倍数共有100÷2，整商=50个
2的2次方的倍数共有100÷（2×2），整商=25 个
2的3次方的倍数共有100÷（2×2×2），整商=12 个
2的4次方的倍数共有100÷（2×2×2×2），整商=6 个
2的5次方的倍数共有100÷（2×2×2×2×2），整商=3 个
2的6次方的倍数共有100÷（2×2×2×2×2×2），整商=1 个
所以1×2×3…×99×100 的结果包含质因数2的次数是
50+25+12+6+3+1=97，
2⁹⁷=4⁴⁸×2，
3⁴⁸×4⁴⁸=12⁴⁸，
∴1×2×3…×99×100 的结果包含因数12的最大次数是48，
∴M能被2整除，但不能被3整除．
故选A．

点评：此题主要考查了整数的整除性问题，解题时首先找出1×2×3×…×99×100中包含质因数2和3的最大指数，然后利用3×4=12即可解决问题．