Question

四边形ABCD是边长为2的菱形，点G是BC延长线上一点，连接AG，AG⊥AB，分别交DB、CD于点E、F，连接CE．若AE=2EF，求EF长．

Answer 1

考点：菱形的性质,勾股定理,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：根据四边形ABCD是菱形可得出△ADE≌△CDE就可证明∠DAE=∠DCE．则∠DCE=∠G，根据有两组角对应相等的两个三角形相似得到△CEF∽△GEC，可得EF：EC=CE：GE，又因为△ABE≌△CBE AE=2EF，就能得出FG=3EF．根据AB∥CD，AG⊥AB，得出∠EFC=90°，根据CE=2EF得出∠DCE=∠G=30°，进而求得BG=2AB，∠ECG=90°，得出CG=AB=BC=2，根据勾股定理即可求得EF的长．

解答：解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AD=CD，∠ADE=∠CDB；
∴∠DAE=∠G，
在△ADE和△CDE中，

AD=CD ∠ADE=∠CDB DE=DE

，
∴△ADE≌△CDE（SAS），
∴∠DAE=∠DCE．
则∠DCE=∠G，
∵∠CEF=∠GEC，
∴△ECF∽△EGC，
∴

EF

EC

=

EC

EG

，
∵△ADE≌△CDE，
∴AE=CE，
∵AE=2EF，
∴

EF

AE

=

AE

EG

=

1

2

，CE=2EF
∴EG=2AE=4EF，
∴FG=EG-EF=4EF-EF=3EF．
∵AB∥CD，AG⊥AB，
∴∠EFC=90°，
∴∠DCE=∠G=30°，
∴BG=2AB，∠ECG=90°
∴CG=AB=BC=2，
∴EC²+CG²=EG²，
∴（2EF）²+2²=（3EF）²，
解得EF=

2 5

5

．

点评：此题主要考查菱形的性质及全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定定理及性质，30°的直角三角形的性质．