Question

7．数学活动--求重叠部分的面积．
如图1，将两块全等的直角三角形纸片△ABC和△DEF叠放在一起，其中∠ACB=∠E=90°，BC=DE=6，AC=FE=8，顶点D与边AB的中点重合，DE经过点C，DF交AC于点G．
（1）求重叠部分（△DCG）的面积；
（2）将△DEF绕点D旋转，使DE⊥AB交AC于点H，DF交AC于点G，如图2，你能求出重叠部分（△DGH）的面积吗？请写出解答过程；
（3）如图3，将△DEF绕点D旋转，DE，DF分别交AC于点M，N，使DM=MN，求重叠部分（△DMN）的面积．请直接写出△DMN的面积是$\frac{75}{16}$．

Answer 1

分析 （1）确定点G为AC的中点，从而可得△ADC为等腰三角形，其底边AC=8，底边上的高GD=$\frac{1}{2}$BC=3，从而面积可求；
（2）如答图1，由△ABC≌△FDE，得到∠B=∠1．根据∠C=90°，ED⊥AB，推出∠1=∠2，于是得到GH=GD．根据等角的余角相等得到∠A=∠3，于是得到AG=GD，求出AG=GH，即点G为AH的中点．根据勾股定理得到AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=10，由△ADH∽△ACB，得到$\frac{AD}{CD}$=$\frac{DH}{CH}$，解得DH=$\frac{15}{4}$，即可得到结论；
（3）如答图2，过点D作DK⊥AC于点K，则DK∥BC，推出△DKN∽△ACB，得到$\frac{KN}{BC}$=$\frac{DK}{AC}$，求得KN=$\frac{9}{4}$．设DM=MN=x，则MK=x-$\frac{9}{4}$．在Rt△DMK中，由勾股定理得：MK²+DK²=MD²，列方程解得x=$\frac{25}{8}$，即可求得结论．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，D是AB的中点，
∴DC=DA=DB，
∴∠B=∠DCB．
又∵△ABC≌△FDE，
∴∠FDE=∠B．
∴∠FDE=∠DCB，
∴DG∥BC．
∴∠AGD=∠ACB=90°，
∴DG⊥AC．
又∵DC=DA，
∴G是AC的中点，
∴CG=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×8=4，DG=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×6=3，
∴S_△DGC=$\frac{1}{2}$CG•DG=$\frac{1}{2}$×4×3=6．

（2）如答图1，∵△ABC≌△FDE，
∴∠B=∠1．
∵∠C=90°，ED⊥AB，
∴∠A+∠B=90°，∠A+∠2=90°，
∴∠B=∠2，
∴∠1=∠2，
∴GH=GD．
∵∠A+∠2=90°，∠1+∠3=90°，
∴∠A=∠3，
∴AG=GD，
∴AG=GH，即点G为AH的中点．
在Rt△ABC中，AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=10，
∵D是AB中点，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB=5．
在△ADH与△ACB中，
∵∠A=∠A，∠ADH=∠ACB=90°，
∴△ADH∽△ACB，
∴$\frac{AD}{CD}$=$\frac{DH}{CH}$，即$\frac{5}{8}$=$\frac{DH}{6}$，解得DH=$\frac{15}{4}$，
∴S_△DGH=$\frac{1}{2}$S_△ADH=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×DH•AD=$\frac{1}{4}$×$\frac{15}{4}$×5=$\frac{75}{16}$．

（3）如答图2，过点D作DK⊥AC于点K，则DK∥BC，
又∵点D为AB中点，
∴DK=$\frac{1}{2}$BC=3．
∵DM=MN，
∴∠MND=∠MDN，由（2）可知∠MDN=∠B，
∴∠MND=∠B，
又∵∠DKN=∠C=90°，
∴△DKN∽△ACB，
∴$\frac{KN}{BC}$=$\frac{DK}{AC}$，即$\frac{KN}{6}$=$\frac{3}{8}$，得KN=$\frac{9}{4}$．
设DM=MN=x，则MK=x-$\frac{9}{4}$．
在Rt△DMK中，由勾股定理得：MK²+DK²=MD²，
即：（x-$\frac{9}{4}$）²+3²=x²，解得x=$\frac{25}{8}$，
∴S_△DMN=$\frac{1}{2}$MN•DK=$\frac{1}{2}$×$\frac{25}{8}$×3═$\frac{75}{16}$．
故答案为：$\frac{75}{16}$．

点评 本题考查了相似三角形、全等三角形、等腰三角形、勾股定理、图形面积计算、解方程等知识点．题干信息量大，篇幅较长，需要认真读题，弄清题意与作答要求．试题以图形旋转为背景，在旋转过程中，重叠图形的形状与面积不断发生变化，需要灵活运用多种知识予以解决，有利于培养同学们的研究与探索精神，激发学习数学的兴趣，是一道好题．