Question

19．若∠A与∠B的两边分别垂直，请判断这两个角的等量关系．
（1）如图1，∠A与∠B的关系是∠A=∠B；如图2，∠A与∠B的关系是∠A+∠B=180°；
（2）若∠A与∠B的两边分别平行，试探索这两个角的等量关系，画图并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）根据垂直的量相等的角都等于90°，对顶角相等，所以∠A=∠B，同样根据垂直的量相等的角都等于90°，根据四边形的内角和等于360°，所以∠A+∠B=360°-90°-90°=180°．所以如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，那么这两个角的关系是相等或互补；
（2）根据平行线的性质得到同位角相等，同旁内角互补即可得到结论．

解答 （1）如图1，∠A=∠B，

∵∠ADE=∠BCE=90°，∠AED=∠BEC，
∴∠A=180°-∠ADE-∠AED，
∠B=180°-∠BCE-∠BEC，
∴∠A=∠B，
如图2，∠A+∠B=180°；

∴∠A+∠B=360°-90°-90°=180°．
∴∠A与∠B的等量关系是互补；
故答案为：∠A=∠B，∠A+∠B=180°；

（2）如图3，∠A=∠B，

∵AD∥BF，∴∠A=∠1，
∵AE∥BG，∴∠1=∠B，
∴∠A=∠B；
如图4，∠A+∠B=180°，

∵AD∥BG，
∴∠A=∠2，
∵AE∥BF，
∴∠2+∠B=180°，
∴∠A+∠B=180°．

点评 本题考查了平行线的性质，垂线的定义，四边形的内角和等于360°，三角形的内角和等于180°，对顶角相等，正确掌握各性质定理是解题的关键．