Question

6．已知方程x ²-9x+8=0．求作一个一元二次方程，使它的一个根为原方程两个根和的倒数，另一个根为原方程两根差的平方．

Answer 1

分析 先设方程x²-9x+8=0的两根分别为a，b，根据根与系数的关系得到a+b=9，ab=8，再计算出$\frac{1}{a+b}$=$\frac{1}{9}$和（a-b）²=（a+b）²-4ab=9²-4×8=49，根据题意以$\frac{1}{9}$和49为根的一元二次方程可写为x²-（$\frac{1}{9}$+49）x+$\frac{1}{9}$×49=0，然后整理即可．

解答 解：设方程x²-9x+8=0的两根分别为a，b，则a+b=9，ab=8，
∴$\frac{1}{a+b}$=$\frac{1}{9}$，
（a-b）²=（a+b）²-4ab=9²-4×8=49，
∴以$\frac{1}{9}$和49为根的一元二次方程可写为x²-（$\frac{1}{9}$+49）x+$\frac{1}{9}$×49=0，
整理得9x²-442x+49=0，
∴所求的一元二次方程为9x²-442x+49=0．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x₁，x₂，则x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$．