Question

已知：如图1，BD、CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，
AG⊥CE，垂足分别为F、G，连接FG，延长AF、AG，与直线BC相交，易证
FG=（AB+AC﹣BC）．
若：（1）BD、CE分别是△ABC的内角平分线（如图2）；
        （2）BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线（如图3），
则在图2、图3两种情况下，线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中的一种情况给予证明．

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Answer 1

解：（1）猜想结果：如图2结论为FG=（AB+AC﹣BC） 证明：分别延长AG、AF交BC于H、K 易证△BAF≌△BKF ∴AF=KF，AB=KB 同理可证，AG=HG，AC=HC ∴FG=HK 又∵HK=BK﹣BH=AB+AC﹣BC ∴FG=（AB+AC﹣BC） （2）图3的结论为FG=（BC+AC﹣AB）． 证明：分别延长AG、AF交BC或延长线于H、K 易证△BAF≌△BKF， ∴AF=KF    AB=KB 同理可证，AG=HG，AC=HC， ∴FG=KH 又∵KH=BC﹣BK+HC=BC+AC﹣AB． ∴FG=（BC+AC﹣AB）．