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【题目】如果二次函数的二次项系数为1那么此二次函数可表示为y=x2+px+q,我们称[p,q]为此函数的特征数如函数y=x2+2x+3的特征数是[2,3].

(1)若一个函数的特征数为[-2,1],求此函数图象的顶点坐标;

(2)探究下列问题:

若一个函数的特征数为[4,-1],将此函数的图象先向右平移1个单位长度再向上平移1个单位长度求得到的图象对应的函数的特征数;

若一个函数的特征数为[2,3],问此函数的图象经过怎样的平移才能使得到的图象对应的函数的特征数为[3,4]?

【答案】(1) (1,0);(2) ① [2,-3],②见解析

【解析】试题分析:首先根据函数的特征数可以确定函数表达式为y=x2-2x+1=(x-1)2,所以可得出顶点坐标为:(1,0);先根据函数的特征数写出函数的表达式,将表达式写成顶点式,然后再平移,平移时规律为左加右减,上加下减。求出平移后的函数表达式是顶点式,将顶点式化成y=x2+px+q的形式,即可求得特征数;如果已知两个函数的特征数,要想知道两个函数怎么平移得到的,需先将两个函数都转化成顶点式,再根据两个函数顶点式判断平移方法。

解:(1)由题意得y=x2-2x+1=(x-1)2.

特征数为[-2,1]的函数图象的顶点坐标为(1,0).

(2)①特征数为[4-1]的函数表达式为y=x2+4x-1

即y=(x+2)2-5.

函数图象先向右平移1个单位长度再向上平移1个单位长度

∴y=(x+2-1)2-5+1,即y=x2+2x-3.

特征数为[2,-3].

特征数为[2,3]的函数表达式为y=x2+2x+3,y=(x+1)2+2,

特征数为[3,4]的函数表达式为y=x2+3x+4,

y=(x+)2

所求平移为:先向左平移个单位长度再向下平移个单位长度(或先向下平移个单位长度再向左平移个单位长度).

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