【题目】如果二次函数的二次项系数为1,那么此二次函数可表示为y=x2+px+q,我们称[p,q]为此函数的特征数,如函数y=x2+2x+3的特征数是[2,3].
(1)若一个函数的特征数为[-2,1],求此函数图象的顶点坐标;
(2)探究下列问题:
①若一个函数的特征数为[4,-1],将此函数的图象先向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度,求得到的图象对应的函数的特征数;
②若一个函数的特征数为[2,3],问此函数的图象经过怎样的平移,才能使得到的图象对应的函数的特征数为[3,4]?
【答案】(1) (1,0);(2) ① [2,-3],②见解析
【解析】试题分析:首先根据函数的特征数可以确定函数表达式为y=x2-2x+1=(x-1)2,所以可得出顶点坐标为:(1,0);先根据函数的特征数写出函数的表达式,将表达式写成顶点式,然后再平移,平移时规律为左加右减,上加下减。求出平移后的函数表达式是顶点式,将顶点式化成y=x2+px+q的形式,即可求得特征数;如果已知两个函数的特征数,要想知道两个函数怎么平移得到的,需先将两个函数都转化成顶点式,再根据两个函数顶点式判断平移方法。
解:(1)由题意,得y=x2-2x+1=(x-1)2.
∴特征数为[-2,1]的函数图象的顶点坐标为(1,0).
(2)①特征数为[4,-1]的函数表达式为y=x2+4x-1
即y=(x+2)2-5.
∵函数图象先向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度,
∴y=(x+2-1)2-5+1,即y=x2+2x-3.
∴特征数为[2,-3].
②特征数为[2,3]的函数表达式为y=x2+2x+3,即y=(x+1)2+2,
特征数为[3,4]的函数表达式为y=x2+3x+4,即
y=(x+)2+,
∴所求平移为:先向左平移个单位长度,再向下平移个单位长度(或先向下平移个单位长度,再向左平移个单位长度).
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【题目】初三年级学习压力大,放学后在家自学时间较初一、初二长,为了解学生学习时间,该年级随机抽取25%的学生问卷调查,制成统计表和扇形统计图,请你根据图表中提供的信息回答下列问题:
学习时间(h) | 1 | 1.5 | 2 | 2.5 | 3 | 3.5 |
人数 | 72 | 36 | 54 | 18 |
(1)初三年级共有学生_____人.
(2)在表格中的空格处填上相应的数字.
(3)表格中所提供的学生学习时间的中位数是_____,众数是_____.
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【题目】如图,利用一面墙(墙的长度不超过45m),用80m长的篱笆围一个矩形场地.
(1)怎样围才能使矩形场地的面积为750m2?
(2)能否使所围矩形场地的面积为810m2 ,为什么?
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【题目】为引导学生“爱读书,多读书,读好书”,某校七(2)班决定购买A、B两种书籍.若购买A种书籍1本和B种书籍3本,共需要180元;若购买A种书籍3本和B种书籍1本,共需要140元.
(1)求A、B两种书籍每本各需多少元?
(2)该班根据实际情况,要求购买A、B两种书籍总费用不超过700元,并且购买B种书籍的数量是A种书籍的,求该班本次购买A、B两种书籍有哪几种方案?
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【题目】已知:如图,二次函数y=a(x﹣h)2+的图象经过原点O(0,0),A(2,0).
(1)写出该函数图象的对称轴;
(2)若将线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′,试判断点A′是否为该函数图象的顶点?请说明理由.
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【题目】已知:如图,在长方形ABCD中,AB=4,AD=6.延长BC到点E,使CE=2,连接DE,动点P从点B出发,以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动,设点P的运动时间为t秒,当t的值为_____秒时,△ABP和△DCE全等.
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【题目】一个不透明的口袋中装有4个完全相同的小球,分别标有数字1、2、3、4,另有一个可以自由旋转的圆盘.被分成面积相等的3个扇形区,分别标有数字1、2、3(如图所示).小颖和小亮想通过游戏来决定谁代表学校参加歌咏比赛,游戏规则为:一人从口袋中摸出一个小球,另一个人转动圆盘,如果所摸球上的数字与圆盘上转出数字之和小于4,那么小颖去;否则小亮去.
(1)用树状图或列表法求出小颖参加比赛的概率;
(2)你认为该游戏公平吗?请说明理由;若不公平,请修改该游戏规则,使游戏公平.
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【题目】如图,直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A(1,0),B(3,2).
(1)求m的值和抛物线的解析式;
(2)求不等式x2+bx+c>x+m的解集(直接写出答案);
(3)若M(a,y1),N(a+1,y2)两点都在抛物线y=x2+bx+c上,试比较y1与y2的大小.
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