Question

如图，已知在矩形ABCD中，AD=10，CD=5，点E从点D出发，沿线段DA以每秒1个单位长的速度向点A方向移动，同时点F从点C出发，沿射线CD方向以每秒2个单位长的速度移动，当B、E、F三点共线时，两点同时停止运动，此时BF⊥CE．设点E移动的时间为t（秒）．

（1）求当t为何值时，两点同时停止运动；

（2）求当t为何值时，EC是∠BED的平分线；

（3）设四边形BCFE的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；

（4）求当t为何值时，△EFC是等腰三角形．（直接写出答案）

Answer 1

【考点】四边形综合题．

【分析】（1）B，E，F三点共线时，满足△FED∽△FBC，结合行程问题可以得出关于t的比例式，求出t的值；

（2）∠BEC=∠BFC．可以转化为∠BEC=∠BCE．即BE=BC．得出关于t的方程，求出值；

（3）求S与t之间的函数关系式，可以将四边形BCFE的面积分成S_△BCE，S_△ECF两部分，结合（1）确定t的取值范围；

（4）根据等腰三角形的性质，分EF=EC，EC=FC，EF=FC三种情况讨论．

【解答】解：（1）当B，E，F三点共线时，两点同时停止运动，如图所示．

由题意可知：ED=t，BC=10，FD=2t﹣5，FC=2t．

∵ED∥BC，

∴△FED∽△FBC．

∴=．

∴=．

解得t=5．

∴当t=5时，两点同时停止运动；

（2）在Rt△BCF和Rt△CDE中，

∵∠BCF=∠CDE=90°，==2，

∴Rt△BCF∽Rt△CDE．

∴∠BFC=∠CED．                              

∵AD∥BC，

∴∠BCE=∠CED．若∠BEC=∠BFC，则∠BEC=∠BCE．即BE=BC．

∵5²+（10﹣t）²=10²，

解得 t₁=10+5（舍去），t₂=10﹣5．

即当t=10﹣5时，EC是∠BED的平分线．        

（3）分两种情况讨论：①当F在线段CD上时：S_{四边形BCFE}=S_梯形BCDE﹣S_△EDF=（t+10）×5﹣t（5﹣2t）=t²+25；

②当F在CD延长线上时：

S_{四边形BCFE}=S_梯形BCDE+S_△EDF=（t+10）×5+t（2t﹣5）=﹣t²+25；

∴S=﹣t²+25（0≤t≤5）；

（4）△EFC是等腰三角形有三种情况：

①若EF=EC时，则点F只能在CD的延长线上，

∵EF²=（2t﹣5）²+t²=5t²﹣20t+25，

EC²=5²+t²=t²+25，

∴5t²﹣20t+25=t²+25．

∴t=5或t=0（舍去）；

②若EC=FC时，

∵EC²=5²+t²=t²+25，FC²=4t²，

∴t²+25=4t²．

∴t=；

③若EF=FC时，

∵EF²=（2t﹣5）²+t²=5t²﹣20t+25，FC²=4t²，

∴5t²﹣20t+25=4t²．

∴t₁=10+5（舍去），t₂=10﹣5．

∴当t的值为5，或10﹣5时，△EFC是等腰三角形．