Question

如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，-3），AB⊥x轴，垂足为B，将线段AB绕点O顺时针旋转90°，得到线段CD（其中点A、B的对应点分别为点C、D）．设直线AC与x轴、y轴分别相交于点E、F．
（1）求经过B、E、F的抛物线的解析式；
（2）若点M在（1）中的抛物线上，且点M到点B的距离与到点D的距离之差最大，求点M的坐标；
（3）若点G在直线AC上，且点G到点B的距离与到点D的距离之和最小，求此最小值．

Answer 1

解：（1）由题意得B（1，0），C（-3，-1），D（0，-1）．
设直线AC的解析式为y=kx+b，则
解得
∴．
∴点E、F的坐标分别是（-5，0），（0，）．
设所求抛物线的解析式为y=a（x-1）（x+5），
∴，即a=．
∴．

（2）如图1，连接BD并延长，与抛物线的交点即为所求点M．
设直线BD的解析式为y=k₁x+b₁，
则
解得
∴y=x-1．
设点M的坐标为（m，m-1），
∴，
解得m₁=-3，m₂=1 （舍去）．
即点M的坐标为（-3，-4）．

（3）如图2，作点D关于直线AC的对称点P，DP与AC相交于点G，连接BP．则BP长即为所求的最小值．
由（1）知，OE=5，OF=，OD=1，
故DF=，EF=．
∵∠DGF=∠EOF=90°，∠DFG=∠EFO，
∴△DGF∽△EOF．
∴，
∴DG=，GF=．
∴DP=2DG=．
作PQ⊥y轴，PH⊥x轴，垂足分别为Q、H．
同理可证△DPQ∽△EFO，
∴，
∴PQ=，DQ=．
∴HO=PQ=，PH=OQ=．
∴．
分析：（1）根据已知得出B（1，0），C（-3，-1），D（0，-1），首先求出直线AC的解析式，进而求出点E、F的坐标，再利用交点式求出解析式即可；
（2）首先求出直线BD的解析式为y=k₁x+b₁，再设点M的坐标为（m，m-1），代入二次函数解析式求出即可；
（3）首先得出△DGF∽△EOF，求出DP的长，再利用△DPQ∽△EFO，HO=PQ=，PH=OQ=，再利用勾股定理求出最小值BP即可．
点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及待定系数法求一次函数解析式和相似三角形的判定与性质，根据轴对称得出BP长即为所求的最小值是解题关键．