Question

如图，在平面直角坐标系中，点A（0，4），B（3，0），连接AB．若A点沿y轴向下平移一个单位长度，在保持线段AB的长度不变的条件下，B点沿x轴向右平移．
（1）求线段BD的长度；
（2）一顶点为（1，-3）的抛物线经过D点，求这个抛物线的解析式；
（3）连接AD，点P为AD上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，PF⊥y轴于点F．试探究矩形PEOF的周长L和面积S是否都随P点的运动而变化？若变化，请求出最大值；若不变化，请求出这个不变值．

Answer 1

解：（1）∵A（0，4），B（3，0），
∴OA=4，OB=3，C（0，3）；
Rt△OAB中，由勾股定理可得：AB=5；
Rt△OCD中，AB=CD=5，OC=3，则OD=4；
故D（4，0），BD=OD-OB=1；
即BD=1．

（2）设抛物线的解析式为：y=a（x-1）²-3，
由题意得：a（4-1）²-3=0，a=；
故：y=．

（3）由（1）知D（4，0），C（0，4）；
则△OAD是等腰直角三角形，且直线CD：y=-x+4；
因此△AFP、△PED都是等腰直角三角形，
∴PF=AF，PE=ED；
故矩形的周长C=PF+OF+OE+PE=AF+OF+OE+ED=OA+OD=8，
因此矩形PFOE的周长是个定值，且为8；
设点P（x，-x+4），则有：
矩形的面积S=x（-x+4）=-x²+4x=-（x-2）²+4，
∴矩形的面积S发生变化，且最大值为4；
综上可知：矩形的周长不变，C=8，面积S发生变化，最大值为4．
分析：（1）根据A、B的坐标，可求得OA、OB的长，进而可得到AB=5，若A向下平移1个单位，则C（3，0），OC=3，利用勾股定理即可求得OD=4，由此可得到BD的长．
（2）可将所求的抛物线设为顶点坐标式，然后再将D点坐标代入上述，即可求得待定系数的值，从而确定抛物线的解析式．
（3）首先求矩形的周长，由（1）知：OC=OD=4，即可得到△AOD、△AFP、△PED都是等腰直角三角形，那么AF=PF、PE=ED，因此矩形的周长等于OA+OD，因此这个值是不变的；
易求得直线CD的解析式，设出点P的横坐标，根据直线CD的解析式即可表示出P点的纵坐标，根据矩形的面积公式即可得到关于矩形面积和P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求得该矩形的最大面积．
点评：此题考查勾股定理、二次函数解析式的确定、矩形的性质、等腰直角三角形的性质、二次函数最值的应用等知识，涉及知识点较多，难度适中．