Question

已知关于x的一元二次方程x²+2ax+b²=0，a＞0，b＞0．
（1）若方程有实数根，试确定a，b之间的大小关系；
（2）若a：b=2：，且2x₁-x₂=2，求a，b的值；
（3）在（2）的条件下，二次函数y=x²+2ax+b²的图象与x轴的交点为A、C（点A在点C的左侧），与y轴的交点为B，顶点为D．若点P（x，y）是四边形ABCD边上的点，试求3x-y的最大值．

Answer 1

解：（1）∵关于x的一元二次方程x²+2ax+b²=0有实数根，
∴△=（2a）²-4b²≥0，
有a²-b²≥0，
（a+b）（a-b）≥0．
∵a＞0，b＞0，
∴a+b＞0，a-b≥0．
∴a≥b．

（2）∵a：b=2：，
∴设．
解关于x的一元二次方程x²+4kx+3k²=0，得x=-k或-3k．
当x₁=-k，x₂=-3k时，由2x₁-x₂=2得k=2．
当x₁=-3k，x₂=-k时，由2x₁-x₂=2得（不合题意，舍去）．
∴．

（3）当时，
二次函数y=x²+8x+12与x轴的交点坐标分别为A（-6，0）、C（-2，0），
与y轴交点坐标为B（0，12），顶点坐标D为（-4，-4）．
设z=3x-y，则y=3x-z．
画出函数y=x²+8x+12和y=3x的图象，若直线y=3x平行移动时，如图
可以发现当直线经过点C时符合题意，此时最大z的值等于-6
分析：（1）根据方程有实数根可以得到其根的判别式为非负数，然后再根据a＞0，b＞0作出判断即可；
（2）利用a与b的比值分别设出a和b，利用根与系数的关系用设出的未知数表示出方程的两个解，代入的2x₁-x₂=2中求得a与b的值即可；
（3）将上题中求得的a与b的值代入到函数中确定函数的解析式，然后求得与x轴的交点坐标，与y轴的交点坐标和顶点坐标，据此可以求出3x-y的最大值．
点评：本题考查了函数综合知识，函数综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型．近几年的中考压轴题多以函数综合题的形式出现．解决函数综合题的过程就是转化思想、数形结合思想、分类讨论思想、方程思想的应用过程．