Question

如图，已知抛物线y=x²+6x+5交x轴于A、B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴交x轴于点E，点B的坐标为（-1，0）．
（1）求抛物线的对称轴及点A的坐标；
（2）在平面直角坐标系xOy中是否存在点P，与A、B、C三点构成一个平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连结CA与抛物线的对称轴交于点D，在抛物线上是否存在点M，使得直线EM把四边形DEOC分成面积相等的两部分？若存在，请求出直线EM的解析式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题,待定系数法求一次函数解析式,平行四边形的性质,平移的性质

专题：综合题

分析：（1）只需根据对称轴方程x=-

b

2a

就可求出该抛物线的对称轴，只需令y=0就可求出点A的坐标；
（2）可分AB为平行四边形的一边和对角线两种情况讨论，然后利用平行四边形的性质和平移的性质就可解决问题；
（3）设直线EM与y轴交于点F，可先求出点D的坐标，然后求出四边形DEOC的面积，即可得到△EOF的面积，就可求出点F的坐标，然后运用待定系数法就可求出直线EM的解析式．

解答：解：（1）抛物线的对称轴为x=-

6

2×1

=-3；
当y=0时，有x²+6x+5=0，
解得：x₁=-1，x₂=-5，
∴点A的坐标为（-5，0）．

（2）当x=0时，y=5，则点C的坐标为（0，5）．
①若AB为平行四边形的一边，如图1，
则有PC∥AB，PC=AB=-1-（-5）=4，
∴点P的坐标为（0+4，5）或（0-4，5），
即点P的坐标为（4，5）或（-4，5）；
②若AB为平行四边形的一条对角线，如图1，
则有BP∥CA，BP=CA．
∵点C（0，5）向左平移5个单位再向下平移5个单位到点A（-5，0），
∴点B（-1，0）向左平移5个单位再向下平移5个单位到点P，
∴点P的坐标为（-1-5，0-5）即（-6，-5）．
综上所述：满足条件的点P有三个，分别为（4，5），（-4，5），（-6，-5）．

（3）在抛物线上存在点M，使得直线EM把四边形DEOC分成面积相等的两部分．
设直线EM与y轴交于点F，则有S_△EOF=

1

2

S_梯形EOCD．
∵点A（-5，0），点E（-3，0），点C（0，5），
∴OA=OC=5，OE=3，AE=OA-OE=5-3=2．
∵∠AOC=90°，∴∠OAC=∠OCA=45°．
∵DE⊥x轴，∴∠EDA=∠EAD=45°，
∴ED=EA=2，
∴S_梯形EOCD=

1

2

（ED+OC）•OE=

1

2

×（2+5）×3=

21

2

，
∴S_△EOF=

1

2

×

21

2

=

21

4

，
∴

1

2

OE•OF=

1

2

×3×OF=

21

4

，
∴OF=

7

2

，
∴点F为（0，

7

2

）．
设直线EM的解析式为y=kx+b，
∵直线EM经过点E（-3，0）和点F（0，

7

2

），
∴

-3k+b=0 b= 7 2

，
解得：

k= 7 6 b= 7 2

，
∴直线EM的解析式为y=

7

6

x+

7

2

．

点评：本题主要考查了用待定系数法求直线的解析式、抛物线的性质、平行四边形的性质、旋转的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，运用分类讨论的思想是解决第（2）小题的关键．