Question

如图，已知抛物线与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若M为对称轴上的点，且△MAB的面积是4，求M点的坐标；
（3）设抛物线的顶点为D，在第一象限的抛物线上是否存在点N，使得△NCD是等腰三角形？若存在，求出符合条件的N点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）设y=ax²+bx+c，然后利用待定系数法求二次函数解析式解答；
（2）先求出抛物线对称轴解析式，再求出AB的长度，再利用三角形的面积求出点M到AB的距离，然后分两种情况写出即可；
（3）根据二次函数的对称性，点C关于对称轴对称的点即为所求的点N的位置；求出点D的坐标，然后写出CD的垂直平分线的解析式，再与抛物线解析式联立求解得到的点的坐标也是满足条件的点N．

解答：解：（1）设y=ax²+bx+c，
将A（-1，0），B（3，0），C（0，3）代入得，

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=3

，
解得

a=-1 b=2 c=3

，
所以，y=-x²+2x+3；

（2）∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴对称轴为直线x=1，
∵A（-1，0），B（3，0），
∴AB=3-（-1）=4，
设点M到AB的距离为h，
则S_△MAB=

1

2

AB•h=

1

2

×4•h=4，
解得h=2，
所以，点M的坐标为（1，2）或（1，-2）；

（3）①∵点C关于对称轴直线x=1的对称点为（2，3），
∴点N为（2，3）时，△CDN是等腰三角形，
②∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴顶点D（1，4），
∵C（0，3），
∴CD与y轴的夹角为45°，
∴CD的垂直平分线与y轴的交点坐标为（0，4），
∴CD垂直平分线得解形式为y=-x+4，
联立

y=-x2+2x+3 y=-x+4

，
解得

x1= 3- 5 2 y1= 5+ 5 2

，

x2= 3+ 5 2 y2= 5- 5 2

，
∴点N的坐标为（

3- 5

2

，

5+ 5

2

）或（

3+ 5

2

，

5- 5

2

），
综上所述，存在点N（2，3）或（

3- 5

2

，

5+ 5

2

）或（

3+ 5

2

，

5- 5

2

），使△NCD是等腰三角形．

点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，三角形的面积，等腰三角形的性质，难点在于（2）（3）分情况讨论．