Question

16．已知：如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点．
（1）求证：BM=CM；
（2）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；
（3）当AD：AB=2：1时，四边形MENF是正方形（只写结论，不需证明）．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性质得出∠A=∠D=90°，AB=DC，由SAS证明△ABM≌△DCM，得出对应边相等即可；
（2）证明EN是△BCM的中位线，得出EN=$\frac{1}{2}$CM=FM，EN∥FM，证出四边形MENF是平行四边形，同理：NF是△BCM的中位线，得出NF=$\frac{1}{2}$BM，证出EN=NF，即可得出结论；
（3）证明△ABM是等腰直角三角形，得出∠AMB=45°，同理∠DMC=45°，得出∠EMF=90°，即可得出结论．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，AB=DC，
∵M是AD的中点，
∴AM=DM，
在△ABM和△DCM中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=DC}&{\;}\\{∠A=∠D}&{\;}\\{AM=DM}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△DCM（SAS），
∴BM=CM；
（2）解：四边形MENF是菱形；理由如下：
∵E、N、F分别是线段BM、BC、CM的中点，
∴EN是△BCM的中位线，
∴EN=$\frac{1}{2}$CM=FM，EN∥FM，
∴四边形MENF是平行四边形，
同理：NF是△BCM的中位线，
∴NF=$\frac{1}{2}$BM，
∵BM=CM，
∴EN=NF，
∴四边形MENF是菱形；
（3）解：当AD：AB=2：1时，四边形MENF是正方形；理由如下：
∵AD：AB=2：1，M是AD的中点，
∴AB=AM，
∴△ABM是等腰直角三角形，
∴∠AMB=45°，
同理：∠DMC=45°，
∴∠EMF=180°-45°-45°=90°，
由（2）得：四边形MENF是菱形，
∴四边形MENF是正方形；
故答案为：2：1．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．