Question

3．如图，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D为△ABC外一点，且∠CDB=45°，
（1）求证：CD平分∠ADB；
（2）若∠DAB=67.5°，写出图中除△ABC外的所有等腰三角形，并予以证明．

Answer 1

分析 （1）由AC=BC，∠ACB=90°，得到∠2=∠3=45°，证得∠1=∠3，推出△BDC∽△EBC，根据相似三角形的性质得到∠DBC=∠4，得到∠DBC=∠5，证得△DEB∽△ACE，得到$\frac{BD}{AC}=\frac{DE}{AE}$，推出△BDC∽△EDA，根据相似三角形的性质即可得到结论；
（2）由∠CDB=∠BAC，得到点D，A，B，C四点共圆，得到相等的角，利用三角形的内角和为180°，证明三角形中两个角相等，即可判定等腰三角形．

解答 解：（1）∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠2=∠3=45°，
∵∠1=45°，
∴∠1=∠3，
∵∠DCB=∠BCE，
∴△BDC∽△EBC，
∴∠DBC=∠4，∵∠4=∠5，
∴∠DBC=∠5，
∵∠1=∠2，∠DEB=∠AEC，
∴△DEB∽△ACE，
∴$\frac{BD}{AC}=\frac{DE}{AE}$，
∵AC=BC，
∴$\frac{BD}{BC}=\frac{DE}{AE}$，
∴△BDC∽△EDA，
∴∠1=∠ADC，
∴CD平分∠ADB；

（2）等腰三角形有：△DAE，△EBC，△DBC；
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠BAC=∠ABC=45°，
∵∠CDB=45°，
∴∠CDB=∠BAC，
∴点D，A，B，C四点共圆，
∴∠ADC=∠ABC=45°，
∵∠DAB=67.5°，
∴在△DAE中，∠DEA=180°-∠ADC-∠DAB=180°-45°-67.5°=67.5°，
∴∠DEA=∠DAE，
∴△DAE为等腰三角形；
∵∠BEC=∠DEA=67.5°（对顶角相等），∠BCE=∠DAB=67.5°（圆周角相等），
∴∠BEC=∠BCE，
∴△EBC为等腰三角形；
在△DBC中，∠DBC=180°-∠BDC-∠BCD=180°-45°-67.5°=67.5°，
∴∠DBC=∠BCD，
∴△DBC为等腰三角形．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，四点共圆，等腰三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．