Question

如图所示，∠AOB=45°，角内有一点P，P₁、P₂分别是点P关于两边OA和OB的对称点，连P₁P₂与角两边交于Q、R．
（1）当P₁P₂=20cm时，△PQR的周长=

 

cm；
（2）连接OP₁、OP₂，则△OP₁P₂为

 

三角形；
（3）求∠QPR的度数．

Answer 1

考点：轴对称的性质

专题：

分析：（1）根据轴对称的性质可得PQ=P₁Q，PR=P₂R，然后求出△PQR的周长=P₁P₂；
（2）连接OP，根据轴对称的性质可得OP₁=OP=OP₂，∠AOP₁=AOP，∠BOP₂=∠BOP，再求出∠P₁OP₂=2∠AOB=90°，再根据等腰直角三角形的定义判定即可；
（3）根据轴对称的性质可得∠OPQ=∠P₁，∠OPR=∠P₂，然后求解即可．

解答：解：（1）∵P₁、P₂分别是点P关于两边OA和OB的对称点，
∴PQ=P₁Q，PR=P₂R，
∴△PQR的周长=P₁P₂=20cm；

（2）如图，连接OP，
由轴对称的性质得，OP₁=OP=OP₂，∠AOP₁=AOP，∠BOP₂=∠BOP，
所以，∠P₁OP₂=2∠AOB=90°，
∴△OP₁P₂为等腰直角三角形；

（3）∵∠P₁OP₂=90°，
∴∠P₁+∠P₂=90°，
由轴对称的性质得，∠OPQ=∠P₁，∠OPR=∠P₂，
∴∠QPR=∠OPQ+∠OPR=90°．
故答案为：（1）20；（2）等腰直角．

点评：本题考查了轴对称的性质，等腰直角三角形的判定，熟记性质是解题的关键．