Question

在正方形ABCD中，AB=4．等腰直角板AEF的直角顶点为A，顶点E、F分别在AB、AD上，AE=2，将三角板AEF绕点A逆时针旋转至△AE′F′的位置，连接DF′、BE′，问：若三角板AEF饶点A逆时针旋转60°时，AE′和DF′的位置关系和数量关系，并说明理由．

Answer 1

考点：旋转的性质

专题：常规题型

分析：如图，作F′H⊥AD于H，根据等腰直角三角形的性质得AE=AF=2，再根据旋转的性质得∠DAF′=∠E′AB=60°，AF′=AE′=2，根据含30度的直角三角形三边的关系，在△AHF′中可计算出AH=

1

2

AF′=1，F′H=

3

AH=

3

，则DH=3，在Rt△DHF′中根据勾股定理得到DF′=2

3

，所以∠F′DH=30°，AF′=

3

3

DF′，则AE′=

3

3

DF′，然后根据平行线的判定定理证明AE′∥DF′．

解答：解：AE′=

3

3

DF′，AE′∥DF′．理由如下：
如图，作F′H⊥AD于H，
∵△AEF为等腰直角三角形，
∴AE=AF=2，
∵三角板AEF饶点A逆时针旋转60°得到△AE′F′，
∴∠DAF′=∠E′AB=60°，AF′=AE′=2，
在△AHF′中，∵∠AF′H=30°，
∴AH=

1

2

AF′=1，F′H=

3

AH=

3

，
∴DH=AD-AH=4-1=3，
在Rt△DHF′中，DF′=

DH2+F′H2

=2

3

，
∴∠F′DH=30°，AF′=

3

3

DF′，
∴AE′=

3

3

DF′，
∵∠E′AD+∠F′DA=60°+90°+30°=180°，
∴AE′∥DF′．

点评：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．