Question

在正方形ABCD中E、F分别为BC、AB上的点，且∠FED=90°，∠DFE=60°
（1）△BFE、△FED及△ECD中是否存在相似三角形？请说明．
（2）若正方形边长为1，试求△DEF的面积．

Answer 1

考点：正方形的性质,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据等角的余角相等求出∠BEF=∠CDE，再根据两组角对应相等，两三角形相似可得△BFE和△CED相似；
（2）解直角三角形求出

EF

DE

=

3

3

，再根据相似三角形对应边成比例求出BE，然后求出CE，利用勾股定理列式求出DE²，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．

解答：解：（1）∵∠FED=90°，
∴∠BEF+∠CED=∠CDE+∠CED=90°，
∴∠BEF=∠CDE，
又∵∠B=∠C=90°，
∴△BFE∽△CED；

（2）∵∠FED=90°，∠DFE=60°，
∴

EF

DE

=

3

3

，
∵△BFE∽△CED，
∴

BE

CD

=

EF

DE

=

3

3

，
∴BE=

3

3

CD=

3

3

，
∴CE=1-

3

3

，
在Rt△CDE中，DE²=CE²+CD²=（1-

3

3

）²+1²=

7-2 3

3

，
∵EF=

3

3

•DE，
∴△DEF的面积=

1

2

DE•EF=

1

2

•DE•

3

3

•DE=

3

6

×

7-2 3

3

=

7 3 -6

18

．

点评：本题考查了正方形的性质，同角的余角相等的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，难点在于求出DE²并用DE²表示出△DEF的面积．