Question

18．如图，在直角坐标系xOy中，直线y=mx与双曲线y=$\frac{n}{x}$相交于A（-1，a）、B两点，AC⊥x轴，垂足为C，BD⊥x轴，垂足为D，且满足tan∠AOC=2．
（1）求m、n的值；
（2）求直线AD的解析式和△ABD的面积．

Answer 1

分析 （1）由tan∠AOC的值，利用锐角三角函数定义求出AC的长，确定出A的坐标，分别代入直线与双曲线解析式求出m与n的值即可；
（2）由对称性求出B的坐标，进而确定出D的坐标，利用待定系数法求出直线AD解析式，过A作AE垂直于BD，交BD延长线于点E，求出AE与BD的长，即可确定出三角形ABD面积．

解答 解：（1）∵tan∠AOC=$\frac{AC}{OC}$=2，A（-1，a），即OC=1，
∴AC=2，即A（-1，2），
把A坐标代入直线解析式得：m=-2；把A坐标代入双曲线解析式得：n=-2；
（2）由对称性得：B（1，-2），即D（1，0），
设直线AD解析式为y=kx+b，把A与D坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=2}\\{k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：k=-1，b=1，
则直线AD的解析式为y=-x+1，
过A作AE⊥BD，交BD延长线于点D，
∵A（-1，2），D（1，0），B（1，-2），
∴AE=2，BD=2，
则△ABD的面积S=$\frac{1}{2}$×2×2=2．

点评 此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法求一次函数解析式，锐角三角函数定义，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．