Question

6．已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，弦PQ∥AB交弦CD于点M，BE=18，CD=PQ=24，则OM的长为5$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 作OF⊥PQ于F，连接OP，根据已知和图形证明四边形MEOF为正方形，设半径为x，用x表示出OF，在直角△OPF中，根据勾股定理列出方程求出x的值，得到答案．

解答 解：作OF⊥PQ于F，连接OP，
∴PF=$\frac{1}{2}$PQ=12，
∵CD⊥AB，PQ∥AB，
∴CD⊥PQ，
∴四边形MEOF为矩形，
∵CD=PQ，OF⊥PQ，CD⊥AB，
∴OE=OF，
∴四边形MEOF为正方形，
设半径为x，则OF=OE=18-x，
在直角△OPF中，
x²=12²+（18-x）²，
解得x=13，
则MF=OF=OE=5，
∴OM=5$\sqrt{2}$．
故答案为：5$\sqrt{2}$．

点评 本题考查的是垂径定理和勾股定理的应用，正确作出辅助线构造直角三角形运用勾股定理是解题的关键．