Question

16．已知直线y=2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点M，点B与点A关于点M成中心对称，反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过点B．
（1）求这个反比例函数的解析式；
（2）将这条直线平移，使它与反比例函数的图象交于第一象限内的点C，与y轴交于点D，如果四边形ABCD是平行四边形，并指出这条直线平移的方向和距离；
（3）在第（2）小题的条件下，如果点P在x轴上，且△APC是直角三角形，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）先求出A、M、B的坐标，把点B（1，4）代入y=$\frac{k}{x}$，得出k的值即可；
（2）分两种情况：①若直线y=2x+2向上平移，CD＜AB，四边形ABCD不是平行四边形；
②若直线AB向下平移，作BE⊥x轴于E，过C、D点作x轴、y轴的垂线，它们相交于点F；证明△ABE≌△DCF，得出DF=AE=2，CF=BE=4，求出OD，即可得出结果；
（3）分两种情况：①当∠APC=90°时，OP=2，即可得出点P坐标；
②当∠ACP=90°时，作CF⊥AP于F，由勾股定理求出AC，由射影定理求出AP，得出OP，即可得出点P坐标．

解答 解：（1）∵直线y=2x+2，当y=0时，x=-1；
当x=0时，y=2；
∴A（-1，0），M（0，2），
∴OA=1，
∵点B与点A关于点M成中心对称，
∴BM=AM，
∴B（1，4），
把B（1，4）代入y=$\frac{k}{x}$得：k=4，
∴反比例函数的解析式为：y=$\frac{4}{x}$；
（2）分两种情况：①若直线y=2x+2向上平移，如图1所示：

则CD＜AB，
∴四边形ABCD不是平行四边形；
②若直线AB向下平移，
作BE⊥x轴于E，分别过C、D点作x轴、y轴的垂线，它们相交于点F；
如图2所示：

则∠AEB=∠F=90°，AE∥DF，
∴∠1=∠CDF，
若四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，AB∥DC，AB=DC，
∴∠BAE=∠1，
∴∠BAE=∠CDF，
在△ABE和△DCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠CDF}&{\;}\\{∠AEB=∠F}&{\;}\\{AB=DC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DCF（AAS），
∴DF=AE=2，CF=BE=4，
∴点C的横坐标为2，
把x=2代入y=$\frac{4}{x}$得：y=2，
∴OD=4-2=2，
∴D点坐标为（0，-2），
∴如果四边形ABCD是平行四边形，直线AB向下平移4个单位长度得到BC；
（3）分两种情况：①当∠APC=90°时，如图3所示：

OP=2，点P坐标为（2，0）；
②当∠ACP=90°时，
作CF⊥AP于F，如图4所示：

则AF=3，
∵AC=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∴由射影定理得：AC²=AF×AP，
∴AP=$\frac{13}{3}$，
∴OP=$\frac{13}{3}$-1=$\frac{10}{3}$，
∴点P坐标为（$\frac{10}{3}$，0）．
综上所述：如果点P在x轴上，且△APC是直角三角形，点P的坐标为（2，0）或（$\frac{10}{3}$，0）．

点评 本题是反比例函数综合题目，考查了反比例函数解析式的求法、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、平移的性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）（3）中，需要进行分类讨论，画出图形，证明三角形全等和运用勾股定理才能得出结果．