Question

已知：如图，在等腰直角△ABC中，AC=BC，斜边AB的长为4，过点C作射线CP∥AB，D为射线CP上一点，E在边BC上（不与B、C重合），且∠DAE=45°，AC与DE交于点O．
（1）求证：△ADE∽△ACB；
（2）设CD=x，tan∠BAE=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）如果△COD与△BEA相似，求CD的值．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）首先利用两角对应相等，证明△ACD∽△ABE，进而证明△ADE∽△ACB；
（2）如答图1所示，过点D作DF⊥AC于点F，则△DCF为等腰直角三角形；分别求出CF、DF、AF的长度，然后利用tan∠BAE=tan∠CAD求解；
（3）首先确定△COD∽△BEA，然后证明AE为角平分线；如答图3，作辅助线，利用角平分线与等腰直角三角形的性质，求出CD的长度．

解答：（1）证明：由题意可知∠CAD+∠CAE=∠CAE+∠BAE=45°，
∴∠CAD=∠BAE；
∵CP∥AB，∴∠ACD=∠CAE=∠B=45°．
∴△ACD∽△ABE，
∴

AD

AE

=

AC

AB

，即

AD

AC

=

AE

AB

，
又∵∠DAE=∠CAB=45°，
∴△ADE∽△ACB．

（2）解：∵等腰直角△ABC中，斜边AB的长为4，
∴AC=BC=2

2

．
如答图1，过点D作DF⊥AC于点F，则△DCF为等腰直角三角形，
∴DF=CF=

2

2

CD=

2

2

x，
∴AF=AC-CF=2

2

-

2

2

x，
∴tan∠CAD=

DF

AF

=

2 2 x

2 2 - 2 2 x

=

x

4-x

．

由（1）知，∠BAE=∠CAD，∴tan∠BAE=tan∠CAD，
∴y=

x

4-x

，定义域0＜x＜2．

（3）解：在△COD与△BEA中，∠DCO=∠B=45°，∠DOC与∠AEB均为钝角，
∴如果△COD与△BEA相似，只能是△COD∽△BEA，∴∠1=∠2．
∵∠AEC=∠AED+∠3=45°+∠3，∠AEC=∠B+∠2=45°+∠2，
∴∠3=∠2，
∴∠1=∠2=∠3，∴CE=CD．
∵CP∥AB，∴∠DCE+∠B=180°，∴∠DCE=180°-∠B=135°，
∴∠1=∠2=∠3=

1

2

（180°-∠DCE）=22.5°，
∴∠2=

1

2

∠CAB，即AE为角平分线．

如答图2，过点E作EG⊥AB于点G，则EG=CE，且△BEG为等腰直角三角形．
∴EG=BG=CE=CD，BE=

2

EG=

2

CD．
∴BC=CE+BE=CD+

2

CD=2

2

，
∴CD=4-2

2

．

点评：本题是几何综合题，考查了等腰直角三角形、平行线、角平分线、相似三角形等几何知识点．本题着重考查几何基础知识，难度不大．