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【题目】如图,抛物线y=x2+bx﹣2与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,且A(一1,0).

(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;

(2)判断ABC的形状,证明你的结论;

(3)点M是抛物线对称轴上的一个动点,当ACM周长最小时,求点M的坐标及ACM的最小周长.

【答案】(1)抛物线的解析式为y=x2x﹣2.顶点D的坐标为:(,﹣);(2)ABC是直角三角形.(3)3

【解析】

试题分析:(1)直接将(﹣1,0),代入解析式进而得出答案,再利用配方法求出函数顶点坐标;

(2)分别得出AB2=25,AC2=OA2+OC2=5,BC2=OC2+OB2=20,进而利用勾股定理的逆定理得出即可;

(3)利用轴对称最短路线求法得出M点位置,再求ACM周长最小值.

解:(1)点A(﹣1,0)在抛物线y=x2+bx﹣2上,

×(﹣1 )2+b×(﹣1)﹣2=0,

解得:b=﹣

抛物线的解析式为y=x2x﹣2.

y=(x﹣2

顶点D的坐标为:(,﹣);

(2)当x=0时y=﹣2,C(0,﹣2),OC=2.

当y=0时,x2x﹣2=0,

解得:x1=﹣1,x2=4,

B (4,0),

OA=1,OB=4,AB=5.

AB2=25,AC2=OA2+OC2=5,BC2=OC2+OB2=20,

AC2+BC2=AB2

∴△ABC是直角三角形.

(3)如图所示:连接AM,

点A关于对称轴的对称点B,BC交对称轴于点M,根据轴对称性及两点之间线段最短可知,

MC+MA的值最小,即ACM周长最小,

设直线BC解析式为:y=kx+d,则

解得:

故直线BC的解析式为:y=x﹣2,

当x=时,y=﹣

M,﹣),

ACM最小周长是:AC+AM+MC=AC+BC=+2=3

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