【题目】如图,抛物线y=x2+bx﹣2与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,且A(一1,0).
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;
(2)判断△ABC的形状,证明你的结论;
(3)点M是抛物线对称轴上的一个动点,当△ACM周长最小时,求点M的坐标及△ACM的最小周长.
【答案】(1)抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣2.顶点D的坐标为:(,﹣);(2)△ABC是直角三角形.(3)3.
【解析】
试题分析:(1)直接将(﹣1,0),代入解析式进而得出答案,再利用配方法求出函数顶点坐标;
(2)分别得出AB2=25,AC2=OA2+OC2=5,BC2=OC2+OB2=20,进而利用勾股定理的逆定理得出即可;
(3)利用轴对称最短路线求法得出M点位置,再求△ACM周长最小值.
解:(1)∵点A(﹣1,0)在抛物线y=x2+bx﹣2上,
∴×(﹣1 )2+b×(﹣1)﹣2=0,
解得:b=﹣,
∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣2.
y=(x﹣)2﹣,
∴顶点D的坐标为:(,﹣);
(2)当x=0时y=﹣2,∴C(0,﹣2),OC=2.
当y=0时,x2﹣x﹣2=0,
解得:x1=﹣1,x2=4,
∴B (4,0),
∴OA=1,OB=4,AB=5.
∵AB2=25,AC2=OA2+OC2=5,BC2=OC2+OB2=20,
∴AC2+BC2=AB2.
∴△ABC是直角三角形.
(3)如图所示:连接AM,
点A关于对称轴的对称点B,BC交对称轴于点M,根据轴对称性及两点之间线段最短可知,
MC+MA的值最小,即△ACM周长最小,
设直线BC解析式为:y=kx+d,则,
解得:,
故直线BC的解析式为:y=x﹣2,
当x=时,y=﹣,
∴M(,﹣),
△ACM最小周长是:AC+AM+MC=AC+BC=+2=3.
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【题目】甲、乙两人进行射击测试,每人10次射击成绩的平均数都是8.8环,方差分别是:S甲2=1,S乙2=0.8,则射击成绩较稳定的是 . (填“甲”或“乙”)
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【题目】若(x2+x+b)(2x+c)=2x3+7x2﹣x+a,则a,b,c的值分别为( )
A.a=﹣15,b=﹣3,c=5B.a=﹣15,b=3,c=﹣5
C.a=15,b=3,c=5D.a=15,b=﹣3,c=﹣5
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【题目】如图,C为以AB为直径的⊙O上一点,AD和过点C的切线互相垂直,垂足为点D.
(1)求证:AC平分∠BAD;
(2)若CD=3,AC=3,求⊙O的半径长.
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【题目】如图,在△ABC中,分别以点A和点B为圆心,大于AB长为半径画弧,两弧相交于点M、N,连接MN,交BC于点D,交AB于点E,连接AD.若△ABC的周长等于16,△ADC的周长为9,那么线段AE的长等于( )
A. 3 B. 3.5 C. 5 D. 7
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【题目】如图,四边形ABCD内接于⊙O,AC平分∠BAD,延长DC交AB的延长线于点E .
(1)若∠ADC=86°,求∠CBE的度数;
(2)若AC=EC,求证:AD=BE.
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【题目】如图1,△ABE是等腰三角形,AB=AE,∠BAE=45°,过点B作BC⊥AE于点C,在BC上截取CD=CE,连接AD、DE并延长AD交BE于点P;
(1)求证:AD=BE;
(2)试说明AD平分∠BAE;
(3)如图2,将△CDE绕着点C旋转一定的角度,那么AD与BE的位置关系是否发生变化,说明理由.
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