【题目】(本题满分分)已知在平面直角坐标系中,点是抛物线上的一个动点,点的坐标为.
(1).如图1,直线过点且平行于轴,过点作,垂足为,连接,猜想与的大小关系: ______ (填写“>”“<”或“=” ),并证明你的猜想.
(2).请利用(1)的结论解决下列问题:
①.如图2,设点的坐标为, 连接,问是否存在最小值?如果存在,请说明理由,并求出点的坐标;如果不存在,请说明理由.
②.若过动点和点的直线交抛物线于另一点,且,求直线的解析式(图3为备用图).
【答案】(1)=;理由见解析;(2)①存在P点坐标为(2,﹣3);②y=x﹣1或y=﹣x﹣1.
【解析】试题分析:(1)利用二次函数图象上点的坐标特征,设P(m,﹣m2﹣2),则B(m,﹣1),然后根据两点间的距离公式计算出PA和PB,从而可判断它们相等;
(2)①过点Q作QB∥x轴,过P点作PB⊥QB于B点,如图2,由(1)得PB=PA,根据两点之间线段最短,当点P、B、C共线时,此时P点的横坐标为2,然后计算对应的函数值即可得到P点坐标;
②过点Q(0,﹣1)作直线l平行于x轴,作PB⊥l于B,DE⊥l于E,如图3,由(1)得PB=PA,DE=DA,再证明△QDE∽△QPB,利用相似比得到==,设P(m,﹣m2﹣2),则B(m,﹣1),PB=m2+1,易得E点坐标为(m,﹣1),D点坐标为[m,﹣(m)2﹣2],则ED=m2+1,然后根据DE和PB的数量关系列方程m2+1=4(m2+1),解方程求出m,从而得到P点坐标,最后利用待定系数法求直线PQ的解析式.
解:(1)PA与PB相等.
理由如下:设P(m,﹣m2﹣2),则B(m,﹣1),
∵PA===m2+1,
PB=﹣1﹣(﹣m2﹣2)=m2+1,
∴PA=PB.
故答案为=;
(2)①存在.
过点Q作QB∥x轴,过P点作PB⊥QB于B点,如图2,由(1)得PB=PA,则PA+PC=PB+PC,
当点P、B、C共线时,PB+PC最小,此时PC⊥QB,P点的横坐标为2,
当x=2时,y=﹣x2﹣2=﹣×4﹣2=﹣3,
即此时P点坐标为(2,﹣3);
②过点Q(0,﹣1)作直线l平行于x轴,作PB⊥l于B,DE⊥l于E,如图3,由(1)得PB=PA,DE=DA,
∵PA=4AD,
∴PB=4DE,
∵DE∥PB,
∴△QDE∽△QPB,
∴==,
设P(m,﹣m2﹣2),则B(m,﹣1),PB=m2+1,
∴E点坐标为(m,﹣1),D点坐标为[m,﹣(m)2﹣2],
∴ED=﹣1+(m)2+2=m2+1,
∴m2+1=4(m2+1),解得m1=4,m2=﹣4,
∴P点坐标为(4,﹣6)或(﹣4,﹣6),
当P点坐标为(4,﹣6)时,直线PQ的解析式为y=﹣x﹣1,
当P点坐标为(﹣4,﹣6)时,直线PQ的解析式为y=x﹣1,
即直线PQ的解析式为y=x﹣1或y=﹣x﹣1.
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【题目】如果知道a与b互为相反数,且x与y互为倒数,那么代数式|a + b| - 2xy的值为多少? ( )
A. 0 B. -2 C. -1 D. 无法确定
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【题目】如图,一次函数y1=k1x+b的图象与反比例函数y2=(x>0)的图象交于A、B两点,与y轴交于C点,已知A点坐标为(2,1),C点坐标为(0,3)
(1)求一次函数和反比例函数的解析式;
(2)在x轴上找一点P,使得△PAB的周长最小,请求出点P的坐标.
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【题目】2016湖南长沙第8题)若将点A(1,3)向左平移2个单位,再向下平移4个单位得到点B,则点B的坐标为( )
A.(﹣2,﹣1) B.(﹣1,0) C.(﹣1,﹣1) D.(﹣2,0)
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【题目】某校甲乙两个体操队队员的平均身高相等,甲队队员身高的方差是S甲2=1.9,乙队队员身高的方差是S乙2=1.2,那么两队中队员身高更整齐的是队.(填“甲”或“乙”)
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【题目】已知:在⊙O中,AB是直径,AC是弦,OE⊥AC于点E,过点C作直线FC,使∠FCA=∠AOE,交AB的延长线于点D.
(1)求证:FD是⊙O的切线;
(2)设OC与BE相交于点G,若OG=2,求⊙O半径的长;
(3)在(2)的条件下,当OE=3时,求图中阴影部分的面积.
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