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【题目】(本题满分分)已知在平面直角坐标系中,点是抛物线上的一个动点,点的坐标为.

(1).如图1,直线过点且平行于轴,过点作,垂足为,连接,猜想的大小关系: ______ (填写“>”“<”或“=” ),并证明你的猜想.

(2).请利用(1)的结论解决下列问题:

①.如图2,设点的坐标为, 连接,问是否存在最小值?如果存在,请说明理由,并求出点的坐标;如果不存在,请说明理由.

②.若过动点和点的直线交抛物线于另一点,且,求直线的解析式(图3为备用图).

【答案】(1=;理由见解析;(2存在P点坐标为(2﹣3);②y=x﹣1y=﹣x﹣1

【解析】试题分析:(1)利用二次函数图象上点的坐标特征,设Pmm2﹣2),则Bm﹣1),然后根据两点间的距离公式计算出PAPB,从而可判断它们相等;

2过点QQB∥x轴,过P点作PB⊥QBB点,如图2,由(1)得PB=PA,根据两点之间线段最短,当点PBC共线时,此时P点的横坐标为2,然后计算对应的函数值即可得到P点坐标;

过点Q0﹣1)作直线l平行于x轴,作PB⊥lBDE⊥lE,如图3,由(1)得PB=PADE=DA,再证明△QDE∽△QPB,利用相似比得到==,设Pmm2﹣2),则Bm﹣1),PB=m2+1,易得E点坐标为(m﹣1),D点坐标为[mm2﹣2],则ED=m2+1,然后根据DEPB的数量关系列方程m2+1=4m2+1),解方程求出m,从而得到P点坐标,最后利用待定系数法求直线PQ的解析式.

解:(1PAPB相等.

理由如下:设Pmm2﹣2),则Bm﹣1),

∵PA===m2+1

PB=﹣1﹣m2﹣2=m2+1

∴PA=PB

故答案为=

2存在.

过点QQB∥x轴,过P点作PB⊥QBB点,如图2,由(1)得PB=PA,则PA+PC=PB+PC

当点PBC共线时,PB+PC最小,此时PC⊥QBP点的横坐标为2

x=2时,y=﹣x2﹣2=﹣×4﹣2=﹣3

即此时P点坐标为(2﹣3);

过点Q0﹣1)作直线l平行于x轴,作PB⊥lBDE⊥lE,如图3,由(1)得PB=PADE=DA

∵PA=4AD

∴PB=4DE

∵DE∥PB

∴△QDE∽△QPB

==

Pmm2﹣2),则Bm﹣1),PB=m2+1

∴E点坐标为(m﹣1),D点坐标为[mm2﹣2]

∴ED=﹣1+m2+2=m2+1

m2+1=4m2+1),解得m1=4m2=﹣4

∴P点坐标为(4﹣6)或(﹣4﹣6),

P点坐标为(4﹣6)时,直线PQ的解析式为y=﹣x﹣1

P点坐标为(﹣4﹣6)时,直线PQ的解析式为y=x﹣1

即直线PQ的解析式为y=x﹣1y=﹣x﹣1

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