Question

9．如图，在△ABC中，AB=4，AC=3，BC=5，以三边为边，在BC的同侧分别作三个等边三角形即△ABD，△BCE，△ACF．
（1）求证：四边形EFAD是平行四边形；
（2）求四边形EFAD的面积．

Answer 1

分析 （1）四边形EFAD平行四边形．根据△ABD，△EBC都是等边三角形容易得到全等条件证明△DBE≌△ABC，然后利用全等三角形的性质和平行四边形的判定可以证明四边形EFAD平行四边形；
（2）由勾股定理逆定理得出△ABC为直角三角形，算出∠DAF=150°，进一步得出∠AFE=30°，作AG⊥EF于点G，求得AG，求得面积即可．

解答 （1）证明：∵△ABD，△EBC都是等边三角形．
∴AD=BD=AB，BC=BE=EC
∠DBA=∠EBC=60°
∴∠DBE+∠EBA=∠ABC+∠EBA．
∴∠DBE=∠ABC．
在△DBE和△ABC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=BA}\\{∠DBE=∠ABC}\\{BE=BC}\end{array}\right.$，
∴△DBE≌△ABC．
∴DE=AC．
又∵△ACF是等边三角形，
∴AC=AF．
∴DE=AF．
同理可证：AD=EF，
∴四边形EFAD平行四边形．
（2）解：∵在△ABC中，AB=4，AC=3，BC=5，
∴AB²+AC²=BC²，
∴△ABC为直角三角形，则∠BAC=90°，
∴∠DAF=150°，
∵AD∥EF，
∴∠AFE=30°，
作AG⊥EF于点G，

∴AG=$\frac{1}{2}$AF=$\frac{3}{2}$，
∴四边形EFAD的面积=AD•AG=6．

点评 此题考查平行四边形的判定与性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，结合图形，灵活运用已知条件解决问题．