Question

【题目】如图，直线与x轴、y轴分别交于点B、C，对称轴为的抛物线经过B、C两点，与x轴的另一个交点为A，顶点为D、点P是该抛物线上的一个动点，过点P作轴于点E，分别交线段BD、BC于点F、G，设点P的横坐标为．

求该抛物线所对应的函数关系式及顶点D的坐标；

求证：；；

当为等腰三角形时，求t的值．

Answer 1

【答案】 ，D坐标为；证明见解析；证明见解析；t的值为或．

【解析】

（1）由抛物线特点求出A的坐标，再用待定系数法求出函数解析式，再求顶点坐标；（2）求直线DB所对应的函数关系式为．设点P的坐标为，则，，，．过点D作轴，垂足为点H，由等腰直角三角形性质得，，，所以，在中，；在中，．

分三种情况讨论：

Ⅰ若则；

Ⅱ若则；

Ⅲ若则；

分别解方程可得.

解：直线与x轴、y轴的交点坐标分别为，．

抛物线的对称轴为，

点A坐标为

设所求抛物线的函数关系式为，

把点代入，得，

解得．

所求抛物线的函数关系式为：，即．

该抛物线的顶点D的坐标为．

，．

易得直线DB所对应的函数关系式为．

设点P的坐标为，则，，

，．

，即．

过点D作轴，垂足为点H，如图．

点D、C的坐标分别为、，

是等腰直角三角形，．

是等腰直角三角形，．

是直角三角形，且，，．

在中，．

在中，．

．

分三种情况讨论：

Ⅰ若则，

整理得，

解得，舍去．

Ⅱ若则，

整理得，

解得，．

，

这种情况不存在．

Ⅲ若则，

整理得，

解得，．

，

不符合题意，舍去．

综上所述，当为等腰三角形时，t的值为或．