Question

9．⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，过$\widehat{BC}$的中点P作⊙O的直径PG，与弦BC相交于点D，连接AG、CP、PB．
（1）如图1，求证：AG=CP；
（2）如图2，过点P作AB的垂线，垂足为点H，连接DH，求证：DH∥AG；
（3）如图3，连接PA，延长HD分别与PA、PC相交于点K、F，已知FK=2，△ODH的面积为2$\sqrt{21}$，求AC的长．

Answer 1

分析 （1）利用等弧所对的圆周角相等即可求解；
（2）利用等弧所对的圆周角相等，得到角相等∠APG=∠CAP，判断出△BOD≌△POH，再得到角相等，从而判断出线平行；
（3）由三角形相似，得出比例式，△HON∽△CAM，$\frac{OH}{AC}=\frac{HN}{CM}$，再判断出四边形CDHM是平行四边形，最后经过计算即可求解．

解答 （1）证明：∵过$\widehat{BC}$的中点P作⊙O的直径PG，
∴CP=PB，
∵AB，PG是相交的直径，
∴AG=PB，
∴AG=CP；
（2）证明：如图 2，连接BG

∵AB、PG都是⊙O的直径，
∴四边形AGBP是矩形，
∴AG∥PB，AG=PB，
∵P是弧BC的中点，
∴PC=BC=AG，
∴弧AG=弧CP，
∴∠APG=∠CAP，
∴AC∥PG，
∴PG⊥BC，
∵PH⊥AB，
∴∠BOD=90°=∠POH，
在△BOD和△POH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BOD=∠POH}\\{∠BOD=∠BOD}\\{OB=OP}\end{array}\right.$，
∴△BOD≌△POH，
∴OD=OH，
∴∠ODH=$\frac{1}{2}$（180°-∠BOP）=∠OPB，
∴DH∥PB∥AG．
（3）解：如图3，作CM⊥AP于M，ON⊥DH于N，

∴∠HON=$\frac{1}{2}$∠BOP=$\frac{1}{2}$∠COP=∠CAP，
∴△HON∽△CAM，
∴$\frac{OH}{AC}=\frac{HN}{CM}$，
作PQ⊥AC于Q，
∴四边形CDPQ是矩形，
△APH与△APQ关于AP对称，
∴HQ⊥AP，
由（1）有：HK⊥AP，
∴点K在HQ上，
∴CF=PF，
∴FK是△CMP的中位线，
∴CM=2FK=4，MF=PF，
∵CM⊥AP，HK⊥AP，
∴CM∥HK，
∴∠BCM+∠CDH=180°，
∵∠BCM=∠CAP=∠BAP=∠PHK=∠MHK，
∴∠MHK+∠CDH=180°，
∴四边形CDHM是平行四边形，
∴DH=CM=4，DN=HN=2，
∵S_△ODH=$\frac{1}{2}$DH×ON=$\frac{1}{2}$×4×ON=2$\sqrt{21}$，
∴ON=$\sqrt{21}$，
∴OH=$\sqrt{{HN}^{2}{+ON}^{2}}$=5，
∴AC=$\frac{OH×CM}{HN}$=10．

点评 此题是圆的综合题，主要考查了相似，圆中的一些角的关系，解本题的关键是判断出平行线，难点是作辅助线．