Question

17．如图1，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=5，AD=4，M、N分别是边AD、BC上的任意一点，联结AN、DN，点E、F分别在线段AN、DN上，且ME∥DN，MF∥AN，联结EF．
（1）如图2，如果EF∥BC，求EF的长；
（2）如果四边形MENF的面积是△ADN的面积的$\frac{3}{8}$，求AM的长；
（3）如果BC=10，试探索△ABN、△AND、△DNC能否两两相似？如果能，求AN的长；如果不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用平行线分线段成比例得到EF是△AND的中位线，利用三角形中位线定理进行解答即可；
（2）设AM=x．利用（1）中相似三角形的性质得到$\frac{{S}_{△AME}}{{S}_{△ADN}}$=$（\frac{AM}{AD}）^{2}$=$\frac{{x}^{2}}{16}$，$\frac{{{S}_{△}}_{DMF}}{{S}_{△ADN}}$=$（\frac{DM}{AD}）^{2}$=$\frac{（4-x）^{2}}{16}$，利用图中相关图形的面积间的数量关系和已知条件列出关于x的方程[1-$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{（4-x）^{2}}{16}$]S_△AND=$\frac{3}{2}$S_△AND．由此求得x的值；
（3）如答图2，过点A作AP⊥BC于P，过点D作DQ⊥BC于Q．需要分类讨论：当△ABN∽△DCN、△ABN∽△NCD两种情况，利用相似三角形的对应边成比例求得BN=CN=5，然后利用勾股定理计算AM的长度．

解答 解：（1）如答图1，∵EF∥BC，AD∥BC，
∴EF∥AD，
又∵ME∥DN，MF∥AN，
∴$\frac{NE}{AN}$=$\frac{FN}{ND}$=$\frac{AM}{AD}$=$\frac{AE}{AN}$，
∴AE=EN．
同理，NF=FD，
∴EF是△AND的中位线，
∴EF=$\frac{1}{2}$AD=2；

（2）设AM=x．
则$\frac{{S}_{△AME}}{{S}_{△ADN}}$=$（\frac{AM}{AD}）^{2}$=$\frac{{x}^{2}}{16}$，$\frac{{{S}_{△}}_{DMF}}{{S}_{△ADN}}$=$（\frac{DM}{AD}）^{2}$=$\frac{（4-x）^{2}}{16}$，
∴S_{四边形MENF}=[1-$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{（4-x）^{2}}{16}$]S_△AND=$\frac{3}{8}$S_△AND．
解得 x₁=1，x₂=3，
∴AM的长度是1或3；

（3）如答图2，过点A作AP⊥BC于P，过点D作DQ⊥BC于Q，
则PQ=AD=4，BP=CQ=3．
当△ABN∽△DCN时，$\frac{AB}{CD}$=$\frac{BN}{CN}$=1，
∴BN=CN=5．
∴DN=AN=$\sqrt{A{P}^{2}+N{P}^{2}}$=$2\sqrt{5}$．
又$\frac{AD}{AN}$=$\frac{AN}{AB}$=$\frac{DN}{BN}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴△NAD∽△BAN∽△CDN．
当△ABN∽△NCD时，$\frac{AB}{CN}$=$\frac{BN}{CD}$，
解得BN=CN=5，
∴DN=AN=$\sqrt{A{P}^{2}+N{P}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
综上所述，当△ABN、△AND、△DNC两两相似时，AN=$2\sqrt{5}$．

点评 本题考查了相似综合题．该题综合性比较强，涉及到了三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，解题时，运用了“数形结合”和“分类讨论”的数学思想．