Question

19．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为AB中点，连接DE、CE，CD=AD+BC，则下列结论中①DE⊥CE；②DE平分∠ADC；③CE平分∠DCB；④S_△ADE+S_△CDE=S_△CDE，其中正确的有4个．

Answer 1

分析 延长DE交CB的延长线于F，根据平行线的性质得到∠ADE=∠F，通过全等三角形得到AD=BF，DE=EF，根据等腰三角形的性质得到DE⊥CE，∠EDC=∠F，等量代换得到∠ADE=∠CDE，根据全等三角形的性质即可得到结论．

解答 解：延长DE交CB的延长线于F，
∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠F，
∵E为AB中点，
∴AE=BE，
在△ADE与△BFE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ADE=∠F}\\{AE=BE}\\{∠AED=∠BEF}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△BEF，
∴AD=BF，DE=EF，
∵CD=AD+BC，
∴CD=CF，
∴DE⊥CE，∠EDC=∠F，
∴∠ADE=∠CDE，
∴DE平分∠ADC，
同理CE平分∠DCB，
∵DE=EF，CE⊥DF，
∴S_△CDE=S_△CEF=S_△ADE+S_△BCE．
故正确的有①②③④，
故答案为：4．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．