Question

17．如图，矩形OABC在第一象限，OA=a，OC=b，双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）始终经过BC的中点E，且与AB交于点D，连接OE．
（1）求证：点D是AB的中点；
（2）当∠AOE=45°时，求a、b之间的数量关系；
（3）当∠AOE=30°，k=$\sqrt{3}$时，将四边形OABE沿OE翻折，得四边形OMNE，若双曲线与四边形OMNE的另一交点为F，求EF的解析式．

Answer 1

分析 （1）根据中点坐标公式得到E点坐标，再根据待定系数法得到双曲线解析式，把D点的横坐标代入可求D点的纵坐标，依此即可证明；
（2）根据等腰直角三角形的性质即可得到a、b之间的数量关系；
（3）首先过点E作EH⊥OA于点H，过点F作FG⊥OA于点G，由∠EOA=30°，k=$\sqrt{3}$，即可求得点E的坐标，又由点E是BC的中点，可求得点D的横坐标，继而求得点D的坐标，然后由折叠的性质，可得∠FOA=60°，即可求得点F的坐标，然后由待定系数法求得直线DF的解析式．

解答 （1）证明：∵四边形OABC是进行，
∴BC=OA=a，
∵OC=b，
∴BC的中点E的坐标为（$\frac{1}{2}$a，b），
∵双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）始终经过BC的中点E，
∴b=$\frac{k}{\frac{1}{2}a}$，解得k=$\frac{1}{2}ab$．
故双曲线解析式为y=$\frac{\frac{1}{2}ab}{x}$，
当x=a时，y=$\frac{\frac{1}{2}ab}{x}$=$\frac{1}{2}$b，
∴点D是AB的中点；

（2）解：∵∠AOE=45°，
∴∠COE=45°，
∴OC=OE=$\frac{1}{2}$BC，
∴a=2b；

（3）解：如图，过点E作EH⊥OA于点H，过点F作FG⊥OA于点G，
∵∠AOE=30°，k=$\sqrt{3}$，
∴$\frac{EH}{OH}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴OH=$\sqrt{3}$EH，
∵S_△EOH=$\frac{1}{2}$OH•EH=$\frac{1}{2}$k=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴EH=1，OH=$\sqrt{3}$，
∴点E（$\sqrt{3}$，1），
∵E是BC的中点，
∴OA=2OH=2$\sqrt{3}$，
∴点D的横坐标为2$\sqrt{3}$，
则y=$\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}$=$\frac{1}{2}$，
∴点D（2$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$），
由折叠的性质可得：∠FOA=2∠AOE=60°，
∴FG：OG=$\sqrt{3}$，
∵S_△FOG=$\frac{1}{2}$OG•FG=$\frac{1}{2}$k═$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴OG=1，FG=$\sqrt{3}$，
∴点F（1，$\sqrt{3}$），
设直线EF的解析式为：y=ax+b，则
$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}a+b=1}\\{a+b=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=\sqrt{3}-1}\end{array}\right.$，
∴直线EF的解析式为：y=-x+$\sqrt{3}$-1．

点评 此题考查了反比例函数的性质、矩形的性质、反比例函数k的几何意义以及待定系数法求一次函数的解析式．此题综合性较强，难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．