Question

2．（1）如图，已知AB∥CD，直线MN分别交AB，CD于点E，F，∠BEF和∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，GH⊥EG交MN于H，求证：PF∥GH．
（2）在（1）的条件下，连接PH，K为GH上一点，∠PHK=∠HPK，PQ平分∠EPK交MN于Q，问∠HPQ的大小是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用平行线的性质推知∠BEF+∠EFD=180°；然后根据角平分线的性质、三角形内角和定理证得∠EPF=90°，即EG⊥PF，故结合已知条件GH⊥EG，易证PF∥GH；
（2）利用三角形外角定理、三角形内角和定理求得∠4=90°-∠3=90°-2∠2；然后由邻补角的定义、角平分线的定义推知∠QPK=$\frac{1}{2}$∠EPK=45°+∠2；最后根据图形中的角与角间的和差关系求得∠HPQ的大小不变，是定值45°．

解答 （1）证明：如图1，

∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD=180°．
又∵∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，
∴∠FEP+∠EFP=$\frac{1}{2}$（∠BEF+∠EFD）=90°，
∴∠EPF=90°，即EG⊥PF．
∵GH⊥EG，
∴PF∥GH；
（2）解：∠HPQ的大小不发生变化，理由如下：

如图2，∵∠1=∠2，
∴∠3=2∠2．
又∵GH⊥EG，
∴∠4=90°-∠3=90°-2∠2．
∴∠EPK=180°-∠4=90°+2∠2．
∵PQ平分∠EPK，
∴∠QPK=$\frac{1}{2}$∠EPK=45°+∠2．
∴∠HPQ=∠QPK-∠2=45°，
∴∠HPQ的大小不发生变化，一直是45°．

点评 本题主要考查平行线的性质和判定，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①两直线平行?同位角相等，②两直线平行?内错角相等，③两直线平行?同旁内角互补，④a∥b，b∥c⇒a∥c．