Question

4．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF．
（1）证明：∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE．
（2）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形．

Answer 1

分析 （1）要证明∠BAC=∠DAC，只需证明利用SSS证明△ABC≌△ADC即可；要证明∠AFD=∠CFE先证明△ABF≌△ADF得到∠AFD=∠AFB，再结合∠AFB=∠AFD
即可得到结论；
（2）要证明四边形ABCD是菱形需要证明四条边相等，证明出∠CAD=∠ACD，即可得到AD=CD，结合题干条件即可得到结论．

解答 （1）证明：在△ABC和△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{BC=DC}\\{AC=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BAC=∠DAC，
在△ABF和△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠BAF=∠DAF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△ADF，
∴∠AFD=∠AFB，
∵∠AFB=∠AFD，
∴∠AFD=∠CFE；
（2）证明：∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠ACD，
又∵∠BAC=∠DAC，
∴∠CAD=∠ACD，
∴AD=CD，
∵AB=AD，CB=CD，
∴AB=BC=CD=AD，
∴四边形ABCD是菱形．

点评 本题主要考查了菱形的判定与全等三角形的判定与性质的知识，解答（1）问的关键是利用全等三角形的性质求出∠AFD=∠AFB，解答（2）问的关键是掌握四边相等的四边形是菱形，此题难度一般．