Question

9．操作发现
将一副直角三角板如图①摆放，能够发现等腰直角三角板ABC的斜边与含30°角的直角三角形DEF的长直角边DE重合．
问题解决
将图①中的等腰直角三角板ABC绕点B顺时针旋转30°，点C落在BF上，AC与BD交于点O，连接CD，如图②．
（1）求证：△CDO是等腰三角形；
（2）若DF=10，求AD的长．

Answer 1

分析 （1）利用一副直角三角板的特点得出∠BDC=∠BCD，进而得出∠DOC=∠BDC，即可求出答案；
（2）首先作AG⊥BC，垂足为点G，DH⊥BF，垂足为点H，再利用直角三角形的性质求出BC，BD的长，即可得出AD的长．

解答 （1）证明：如图1所示：∵BC=DE，
∴∠BDC=∠BCD，
∵∠DEF=30°，
∴∠BDC=∠BCD=75°，
∵∠ACB=45°，
∴∠DOC=30°+45°=75°，
∴∠DOC=∠BDC，
∴△CDO是等腰三角形；

（2）解：作AG⊥BC，垂足为点G，DH⊥BF，垂足为点H，
在Rt△DHF中，∵∠F=60°，DF=10，
∴DH=5$\sqrt{3}$，HF=5，
在Rt△BDF中，∵∠F=60°，DF=10，
∴DB=10$\sqrt{3}$，BF=20，
∴BC=BD=10$\sqrt{3}$，
∵AG⊥BC，∠ABC=45°，
∴BG=AG=5$\sqrt{3}$，
∴AG=DH，
∵AG∥DH，
∴四边形AGHD为矩形，
∴AD=GH=BF-BG-HF=20-5$\sqrt{3}$-5=15-5$\sqrt{3}$．

点评 此题主要考查了勾股定理以及直角三角形的性质、等腰三角形的判定等知识，正确得出BG=AG的长是解题关键．