Question

19．2015年全球葵花籽产量约为4200万吨，比2014年上涨2.1%，某企业加工并销售葵花籽，假设销售量与加工量相等，在图中，线段AB、折线CDB分别表示葵花籽每千克的加工成本y₁（元）、销售价y₂（元）与产量x（kg）之间的函数关系；
（1）请你解释图中点B的横坐标、纵坐标的实际意义；
（2）求线段AB所表示的y₁与x之间的函数解析式；
（3）当0＜x≤90时，求该葵花籽的产量为多少时，该企业获得的利润最大？最大利润是多少？

Answer 1

分析 （1）结合图象与题意，即可得出结论；
（2）设出函数解析式，利用待定系数法，即可得出结论；
（3）设出函数解析式，利用待定系数法，可求出销售价格与产量的函数关系式，再由利润=（销售价格-成本）×产量，得出二次函数，求取极值即可．

解答 解：（1）图中点B的横坐标、纵坐标的实际意义为：当产量为130kg时，葵花籽每千克的加工成本与销售价相同，都是9.8元．
（2）设线段AB所表示的y₁与x之间的函数解析式为y₁=k₁x+b₁，
∵A点坐标为（0，2），B点坐标为（130，9.8），
∴有$\left\{\begin{array}{l}{2={b}_{1}}\\{9.8=130{k}_{1}+{b}_{1}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=0.06}\\{{b}_{1}=2}\end{array}\right.$．
∴线段AB所表示的y₁与x之间的函数解析式y₁=0.06x+2．
（3）当0＜x≤90时，销售价y₂（元）与产量x（kg）之间的函数图象为线段CD．
设线段CD所表示的y₂与产量x之间的函数解析式为y₂=k₂x+b₂，
∵C点坐标为（0，8），D点坐标为（90，9.8），
∴有$\left\{\begin{array}{l}{8={b}_{2}}\\{9.8=90{k}_{2}+{b}_{2}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{2}=0.02}\\{{b}_{2}=8}\end{array}\right.$．
∴线段CD所表示的y₂与x之间的函数解析式y₂=0.02+8．
令企业获得的利润为W，则有
W=x（y₂-y₁）=-0.04x²+6x=-0.04（x-75）²+225，
故当x=75时，W取得最大值225．
答：该葵花籽的产量为75kg时，该企业获得的利润最大；最大利润为225元．

点评 本题考查了待定系数法求解析式、坐标系点的意义以及利用二次函数求极值的问题，解题的关键是熟练的运用二元一次解方程组即将二次函数的普通式转化为顶点式求极值．本题属于基础题，难度不大，唯一的失分点是运算量较大，需要细心计算，多加验算．