Question

8．已知直线AB的解析式为：y=$\frac{4}{3}$x+4交x轴于点A，交y轴于点B．动点C从A点出发，以每秒2个单位的速度沿x轴正方向运动，设运动时间为t．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）当t为何值时，以经过B、C两点的直线与直线AB关于y轴对称；并求出直线BC的解析式；
（3）在第（2）小题的前提下，在直线AB上是否存在一点P，使得S_△BCP=2S_△ABC？如果不存在，请说明理由；如果存在，请求出此时点P 的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据坐标轴上点的坐标特征进行计算即可；
（2）根据关于y轴对称的点的特征，求出点A关于y轴点对称点为A′的坐标，运用待定系数法求出直线BC的解析式；
（3）分点P在第三象限和第一象限两种情况，根据三角形的面积公式计算即可．

解答 解：（1）令x=0，则y=4，
∴点B（0，4），
令y=0，则$\frac{4}{3}x+4=0$，
解得：x=-3，
∴点A（-3，0）；
（2）点A关于y轴点对称点为A′（3，0），
所以当点C运动到A′（3，0）时，直线BC与直线AB关于y轴对称，
则$t=\frac{6}{2}=3$秒，
设此时直线BC的解析式为：y=kx+b．
把点C（3，0）和点B（0，4）代入，
得：$\left\{\begin{array}{l}3k+b=0\\ b=4\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}k=-\frac{4}{3}\\ b=4\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为：$y=-\frac{4}{3}x+4$；
（3）存在，
当点P在第三象限时，设P（x，y）
∵S_△BCP=2S_△ABC，
∴S_△ACP=S_△ABC，
∴p（x，-4），
把y=-4代入到$y=\frac{4}{3}x+4$中得：$\frac{4}{3}x+4=-4$，
解得：x=-6，
∴P₁（-6，-4）；
当点P在第一象限时，设P（x，y），
∵S_△BCP=2S_△ABC，
∴S_△ACP=3S_△ABC，
∴p（x，12），
把y=12代入到$y=\frac{4}{3}x+4$中得：$\frac{4}{3}x+4=12$，
解得：x=6，
∴P₂（6，12），
∴P₁（-6，-4）或P₂（6，12）时，S_△BCP=2S_△ABC．

点评 本题考查的是一次函数知识的综合运用，掌握待定系数法求一次函数的解析式、坐标轴上点的坐标特征、关于y轴对称的点的特征是解题的关键，注意分情况讨论思想的灵活运用．