Question

18．如图，已知四边形ABDE是平行四边形，C为边BD延长线上一点，连结AC、CE，使AB=AC．
①求证：△BAD≌△AEC；
②若∠B=30°，∠ADC=45°，BD=12，求平行四边形ABDE的面积．

Answer 1

分析 （1）由等腰三角形的性质得出∠B=∠ACB，根据平行四边形的性质得出AE∥BD，AE=BD，得出∠ACB=∠CAE=∠B，再由SAS证明三角形全等即可；
（2）首先根据锐角三角函数关系得出BG=$\sqrt{3}$x，进而利用BG-DG=BD求出AG的长，进而得出平行四边形ABDE的面积．

解答 （1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB．
又∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AE∥BD，AE=BD，
∴∠ACB=∠CAE=∠B，
在△DBA和△EAC中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠B=∠EAC}\\{BD=AE}\end{array}\right.$，
∴△DBA≌△EAC（SAS）；
（2）解：过A作AG⊥BC，垂足为G，如图所示：
设AG=x，
在Rt△AGD中，∵∠ADC=45°，
∴AG=DG=x，
在Rt△AGB中，∵∠B=30°，
∴BG=$\sqrt{3}$x，
又∵BD=12，
∴BG-DG=BD，即$\sqrt{3}$x-x=12，
解得：AG=x=$\frac{12}{\sqrt{3}-1}$=6$\sqrt{3}$+6，
∴S_{平行四边形ABDE}=BD•AG=12×（6$\sqrt{3}$+6）=72$\sqrt{3}$+72．

点评 本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；根据BG-DG=BD得出AG的长是解决问题（2）的关键．