Question

6．在△ABC中，AB=2$\sqrt{3}$，BC=2，∠ABC=60°，以AB为一边作等腰直角三角形ABD，使∠ABD=90°，连接CD，则线段CD的长为2或2$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 利用A，D点在BC的两侧以及A，D点在BC的同侧进而分别利用勾股定理求出答案．

解答 解：如图1所示：过点D作DE⊥BC于点E，
∵AB=2$\sqrt{3}$，BC=2，∠ABC=60°，以AB为一边作等腰直角三角形ABD，∠ABD=90°，
∴∠EBD=30°，AB=BD=2$\sqrt{3}$，
则DE=$\frac{1}{2}$BD=$\sqrt{3}$，BE=3，
故EC=1，
则在Rt△DEC中，DC=$\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=2，
如图2所示：过点D作DE⊥BC于点E，
∵AB=2$\sqrt{3}$，BC=2，∠ABC=60°，以AB为一边作等腰直角三角形ABD，∠ABD=90°，
∴∠EBD=30°，AB=BD=2$\sqrt{3}$，
则DE=$\frac{1}{2}$BD=$\sqrt{3}$，BE=3，
故EC=5，
则在Rt△DEC中，DC=$\sqrt{{5}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=2$\sqrt{7}$．
故线段CD的长为：2或2$\sqrt{7}$．

点评 此题主要考查了勾股定理以及直角三角形的性质，根据题意结合分类讨论求出是解题关键．