Question

【题目】下面是“作一个30°角”的尺规作图过程．

已知：平面内一点A．

求作：∠A，使得∠A30°．

作法：如图，

（1）作射线AB；

（2）在射线AB上取一点O，以O为圆心，OA为半径作圆，与射线AB相交于点C；

（3）以C为圆心，OC为半径作弧，与⊙O交于点D，作射线AD．

∠DAB即为所求的角．

请回答：该尺规作图的依据是 ．

Answer 1

【答案】三条边相等的三角形是等边三角形，等边三角形的三个内角都是60°，一条弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半；

或：直径所对的圆周角为直角，三条边相等的三角形是等边三角形，等边三角形的三个内角都是60°，直角三角形两个锐角互余；

或：直径所对的圆周角为直角， ， 为锐角， .

【解析】如图，连接OD、DC，根据题目的作图方法，可由以下三种方法说明所作∠A=30°：

（1）由作法可知，OA=OD=OC=DC，

∴△ODC是等边三角形，∠A=∠ADO，

∴∠DOC=60°，

又∵∠A是⊙O中所对的圆周角，∠DOC是⊙O中所对的圆心角，

∴∠A=∠DOC=30°；

（2）由作法可知，OD=OC=DC，AC是⊙O的直径，

∴△ODC是等边三角形，∠ADC=90°，

∴∠DCA=60°，

∴∠A=180°-90°-60°=30°；

（3）由作法可知，OA=OC=DC=⊙O的半径，AC是⊙O的直径，

∴∠ADC=90°，

∴sinA=,

∴锐角∠A=30°.

综上所述：本题答案为：三条边相等的三角形是等边三角形，等边三角形的三个内角都是60°，一条弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半；

或：直径所对的圆周角为直角，三条边相等的三角形是等边三角形，等边三角形的三个内角都是60°，直角三角形两个锐角互余；

或：直径所对的圆周角为直角， ， 为锐角， .