Question

11．有一块三角形铁皮ABC，已知最长边BC=12，高AD=8，要把它加工成一个矩形铁皮，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，问：加工成的矩形铁皮的面积最大值是多少平方厘米？

Answer 1

分析 如图，矩形EFGH的顶点E在AB上，H点在AC上，FG在BC上，EH交AD于M，设EF=x，则MD=x，先证明△AEH∽△ABC，利用相似比可表示出EH=$\frac{3}{2}$（8-x），则利用矩形面积公式得到S_矩形EFGH=x•$\frac{3}{2}$（8-x），然后利用二次函数的性质求S的最大值即可．

解答 解：如图，矩形EFGH的顶点E在AB上，H点在AC上，FG在BC上，EH交AD于M，
设EF=x，则MD=x，
∵EH∥BC，
∴△AEH∽△ABC，
∴$\frac{EH}{BC}$=$\frac{AM}{AD}$，即$\frac{EH}{12}$=$\frac{8-x}{8}$，
∴EH=$\frac{3}{2}$（8-x），
∴S_矩形EFGH=x•$\frac{3}{2}$（8-x）=-$\frac{3}{2}$x²+12x=-$\frac{3}{2}$（x-4）²+24，
∵a=-$\frac{3}{2}$，
∴当x=4时，S_矩形EFGH有最大值，最大值为24．
答：加工成的矩形铁皮的面积最大值是24平方厘米．

点评 本题考查了相似三角形的应用：通过构建三角形相似，利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等进行几何计算．也考查了二次函数的性质．