Question

【题目】阅读下面材料:如图1,圆的概念:在平面内,线段PA绕它固定的一个端点P旋转一周,另一个端点A所形成的图形叫做圆.就是说,到某个定点等于定长的所有点在同一个圆上.圆心在P(a,b),半径为r的圆的方程可以写为:(x-a)2+(y-b)2=r2.如:圆心在P(2,-1),半径为5的圆的方程为:(x-2)2+(y+1)2=25.

(1)填空: ①以A(3,0)为圆心,1为半径的圆的方程为:________; ②以B(-1,-2)为圆心, 为半径的圆的方程为:________;

(2)根据以上材料解决以下问题:

如图2,以B(-6,0)为圆心的圆与y轴相切于原点,C是☉B上一点,连接OC,作BD⊥OC垂足为D,延长BD交y轴于点E,已知sin∠AOC=.

①连接EC,证明EC是☉B的切线;

②在BE上是否存在一点P,使PB=PC=PE=PO,若存在,求P点坐标,并写出以P为圆心,以PB为半径的☉P的方程;若不存在,说明理由.

Answer 1

【答案】(1)①方程为:(x-3)2+y2=1;②方程为:(x+1)2+(y+2)2=3.（2）①证明见解析；②存在，证明见解析.

【解析】（1）根据阅读材料中的定义求解；

（2）①根据垂径定理由BD⊥OC得到CD=OD，则BE垂直平分OC，再根据线段垂直平分线的性质得EO=EC，则∠EOC=∠ECO，

加上∠BOC=∠BCO，易得∠BOE=∠BCE=90°，然后根据切线的判定定理得到EC是⊙B的切线；

②由∠BOE=∠BCE=90°，根据圆周角定理得点C和点O偶在以BE为直径的圆上，即当P点为BE的中点时，满足PB=PC=PE=PO，利用同角的余角相等得∠BOE=∠AOC，则sin∠BOE=sin∠AOC=，在Rt△BOE中，利用正弦的定3义计算出BE=10，利用勾股定理计算出OE=8，则E点坐标为（0，8），于是得到线段AB的中点P的坐标为（﹣3，4），PB=5，然后写出以P（﹣3，4）为圆心，以5为半径的⊙P的方程．

解：①以A（3，0）为圆心，1为半径的圆的方程为（x﹣3）2+y2=1；

②以B（﹣1，﹣2）为圆心， 为半径的圆的方程为（x+1）2+（y+2）2=3；

故答案为（x﹣3）2+y2=1；（x+1）2+（y+2）2=3；

(2)①连接BC.

∵OB=BC,BD⊥OC,∴∠OBD=∠CBD.

又∵BE=BE,

∴△BOE≌△BCE,

∴∠BCE=∠BOE.

∵AO⊥OE,∴∠BCE=90°.

∴EC是☉B的切线.

②存在.

取BE的中点P,连接PC,PO.

∵△BCE和△BOE是直角三角形,

∴PC=BE,PO=BE,

∴PC=PB=PO=PE.

过P作PM⊥x轴于M,PN⊥y轴于N.

∵P是BE中点,∴OM=OB,ON=OE.

∵∠AOC+∠EOC=90°,∠BEO+∠EOC=90°,

∴∠AOC=∠BEO.

∵sin∠AOC=,∴sin∠BEO=.

∴=,即=,∴BE=10.

由勾股定理:OE==8,

P(-3,4),PB==5.

∴☉P的方程为(x+3)2+(y-4)2=25.

“点睛”本题了圆的综合题：熟练掌握垂径定理、切线的判定定理、圆周角定理和等腰三角形的性质；阅读理解能力也是本题考查的重点；会运用锐角三角函数的定义和勾股定理进行几何计算．