Question

如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．求证：
（1）Rt△BEF≌Rt△BEC；
（2）BD=2CE．

Answer 1

分析：（1）求出∠FBE=∠CBE，∠BEF=∠BEC=90°，根据ASA推出两三角形全等即可．
（2）根据全等三角形性质求出CF=2CE，证△ABD≌△ACF，推出BD=CF即可．

解答：证明：（1）∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠FBE=∠CBE，
∵BE⊥CF，
∴∠BEF=∠BEC=90°，
在Rt△BEF和Rt△AEC中，

∠FBE=∠CBE BE=BE ∠BEF=∠BEC

，
∴Rt△BEF≌Rt△AEC（ASA）．

（2）∵Rt△BEF≌Rt△AEC，
∴BF=BC，
∴CE=EF，
∴CF=2CE，
∵∠BAC=90°，且AB=AC，
∴∠FAC=∠BAC=90°，∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠FBE=∠CBE=22.5°，
∴∠F=∠ADB=67.5°，
在△ABD和△ACF中，

∠F=∠ADB ∠FAC=∠BAD AB=AC

，
∴△ABD≌△ACF（AAS），
∴BD=CF，
∵CF=2CE，
∴BD=2CE．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．