Question

●探究  在图1中，已知线段AB，CD，其中点分别为E，F．
①若A （-1，0），B （3，0），则E点坐标为

（1，0）

；
②若C （-2，2），D （-2，-1），则F点坐标为

（-2，

1

2

）

；
●归纳  在图2中，无论线段AB处于坐标系中的哪个位置，当其端点坐标为A（a，b），B（c，d），AB中点为D（x，y） 时，则D点坐标为

（

a+c

2

，

b+d

2

）

．（用含a，b，c，d的代数式表示）
●运用  在图3中，一次函数y=x-2与反比例函数y=

3

x

的图象交点为A，B．
①求出交点A，B的坐标；
②若以A，O，B，P为顶点的四边形是平行四边形，请利用上面的结论求出顶点P的坐标．

Answer 1

分析：探究①②正确作出两线段的中点，即可写出中点的坐标；
归纳：过点A，D，B三点分别作x轴的垂线，垂足分别为A'，D'，B'，则AA'∥BB'∥CC'，根据梯形中位线定理即可得证；
运用：①解两函数解析式组成的方程组即可解得两点的坐标；
②根据A，B两点坐标，根据上面的结论可以求得AB的中点的坐标，此点也是OP的中点，根据前边的结论即可求解．

解答：解：探究   ①根据A （-1，0），B （3，0），线段AB中点为E，
∴E点坐标为：（1，0）；
②根据C （-2，2），D （-2，-1），线段CD中点为F，
∴F点坐标为：（-2，

1

2

）；
归纳：过点A，D，B三点分别作x轴的垂线，垂足分别为A'，D'，B'，
则AA'∥BB'∥DD'．
∵D为AB中点，由平行线分线段成比例定理得A'D'=D'B'．
∴OD'=a+

c-a

2

=

a+c

2

即D点的横坐标是

a+c

2

．
同理可得D点的纵坐标是

b+d

2

．
∴AB中点D的坐标为（

a+c

2

，

b+d

2

）．
故答案为：

a+c

2

，

b+d

2

．
运用：①由题意得

y=x-2 y= 3 x

解得

x=3 y=1

或

x=-1 y=-3

∴即交点的坐标为A（-1，-3），B（3，1）．
②当AB为对角线时，由上面的结论知AB中点M的坐标为（1，-1）．
∵平行四边形对角线互相平分，
∴OM=MP，即M为OP的中点．
∴P点坐标为（2，-2）．（1分）
当OB为对角线时，PB=AO，PB∥AO，
同理可得：点P坐标分别为（4，4），
当OA为对角线时，PA=BO，PA∥BO，
可得：点P坐标分别为（-4，-4）．
∴满足条件的点P有三个，
坐标分别是（2，-2），（4，4），（-4，-4）．

点评：此题主要考查了反比例函数的综合应用，主要探索了：两点连线的中点的横坐标是两点横坐标的中点，纵坐标是纵坐标的中点．