Question

【题目】在长方形中，，，现将长方形向右平移，再向下平移后到长方形的位置.

（1）如图，用的代数式表示长方形与长方形的重叠部分的面积，这时应满足怎样的条件？

（2）如图，用的代数式表示六边形的面积；

（3）当这两个长方形没有重叠部分时，第（2）小题的结论是否改变，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1），应满足的条件是：；（2）；（3）不改变，理由详见解析.

【解析】

（1）表示出重叠部分的长与宽，然后根据长方形的面积公式列式整理即可，根据重叠部分的宽为正数求x的取值范围；

（2）方法一：利用平移前后的长方形的面积的和加上两个正方形的面积，然后再减去重叠部分的面积列式进行计算即可得解；

方法二：利用六边形所在的长方形的面积减去两个小直角三角形的面积，根据面积公式列式进行计算即可得解．

（3）当这两个长方形没有重叠部分时，第（2）小题的结论不改变，延长AD、C′D′交于点M，延长AB、C′B′交于点N，利用S六边形ABB′C′D′D=S四边形ANC′M-2S△BNB′求出即可．

解：（1）∵AB=8cm，BC=10cm，

∴重叠部分的长为（10-x），宽为[8-（x+1）]，

∴重叠部分的面积

∵8-（x+1）＞0，

解得x＜7，

∴x应满足的条件是：0≤x＜7；

（2）方法一：S=10×8×2+x（x+1）×2-（x2-17x+70），

=160+x2+x-x2+17x-70，

=18x+90（cm2）（0≤x＜7）；

方法二：S=（10+x）（8+x+1）-x（x+1）×2，

=（10+x）（9+x）-x2-x，

=90+19x+x2-x2-x，

=18x+90（cm2）（0≤x＜7）．

（3）当这两个长方形没有重叠部分时，第（2）小题的结论不改变．

延长AD、C′D′交于点M，延长AB、C′B′交于点N，

S六边形ABB′C′D′D=S四边形ANC′M-2S△BNB′=（10+x）（9+x）-2×x（x+1）=（18x+90）（cm2）．

∴当这两个长方形没有重叠部分时，第（2）小题的结论不改变.