Question

18．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线VM，延长BC到D，使BC=CD，连接OC，AD，与CM交于点E．若⊙O的半径为3，ED=2，则△AEC的外接圆的半径为$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 根据圆周角定理得∠ACB=90°，而BC=CD，则可判断△ABD为等腰三角形，得到AD=AB=6，所以E=AD-DE=4，再根据切线的性质得OC⊥CM，接着证明OC∥AD，则CM⊥AD，所以∠AEC=90°，然后证明Rt△ACE∽Rt△ADC，利用相似比计算出AC=2$\sqrt{6}$，最后根据圆周角定理的推论可确定△AEC的外接圆的半径．

解答 解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，即AC⊥BD，
∵BC=CD，
∴△ABD为等腰三角形，
∴AD=AB=6，
∴AE=AD-DE=6-2=4，
∵CM为切线，
∴OC⊥CM，
∵OA=OB，CD=CB，
∴OC为△BAD的中位线，
∴OC∥AD，
∴CM⊥AD，
∴∠AEC=90°，
∵∠CAE=∠DAC，
∴Rt△ACE∽Rt△ADC，
∴$\frac{AE}{AC}$=$\frac{AC}{AD}$，即$\frac{4}{AC}$=$\frac{AC}{6}$，
∴AC=2$\sqrt{6}$，
∵△AEC为直角三角形，AC为斜边，
∴△AEC的外接圆的半径=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{6}$．
故答案为$\sqrt{6}$．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了相似三角形的判定与性质．