Question

6．如图，一条直线y₁=k_lx+b与反比例函数y₂=$\frac{k_2}{x}$的图象交于A（1，5）、B（5，n）两点，与x轴交于D点，AC⊥x轴，垂足为C．
（1）如图甲，①求反比例函数的解析式；②求D点坐标；
（2）请直接写出当y₁＜y₂时，x的取值范围；
（3）如图乙，若点E在线段AD上运动，连接CE，作∠CEF=45°，EF交线段AC于点F
①试说明△CDE∽△EAF；
②当△ECF为等腰三角形时，直接写出F点坐标（1，5）或（1，$\frac{5}{2}$）或（1，10-5$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 （1）把A的坐标代入反比例函数的解析式，即可求得函数的解析式，求得B的坐标，然后利用待定系数法即可求得直线AB的解析式，进而求得与x轴的交点D的坐标；
（2）根据函数图象直接解答即可；
（3）①可以证得△ACD是等腰直角三角形，利用两角对应相等的两个三角形相似即可证得；
②分CF=CE，EF=FC，EF=CE三种情况，利用等腰三角形的性质，即可求得CF的长，则F的坐标可以求得．

解答 解：（1）①把（1，5）代入y=$\frac{{k}_{2}}{x}$得：5=k₂，则函数解析式是：y=$\frac{5}{x}$；
②把x=5代入y=$\frac{5}{x}$得：n=$\frac{5}{5}$=1，
设直线AB的解析式是y₁=k_lx+b，根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}m+b=5\\ 5m+b=1\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}m=-1\\ b=6\end{array}\right.$，
则直线AB的解析式是：y=-x+6，
令y=0，解得：x=6，
则D的坐标是：D（6，0）；
（2）由图甲可知，当y₁＜y₂时，x＜1或x＞5．

（3）①∵A（1，5），C（1，0）D（6，0），
∴CD=AC=5，
∵AC⊥CD，
∴∠CAD=∠CDA=45°，
又∵∠FEC=45°，
∴∠AFE=∠ACE+∠FEC=∠ACE+45°，
∠DEC=∠ACE+∠CAD=∠ACE+45°，
∴∠AFE=∠DEC       
∴△CDE∽△EAF      
②∵△ECF为等腰三角形分三种情况．如图乙：

①当CF=CE时，∠CEF=∠CFE=45°，
又∵∠CAB=45°，
∴A，F重合，则F的坐标是：（1，5）；
②当EF=FC时，∠FCE=∠CEF=45°，
∴CE是等腰直角△ACD的角平分线，
∴E是AD的中点，∠FEC=∠ECD=45°，
∴EF∥CD，
∴F是AC的中点，
∴CF=$\frac{5}{2}$，
∴F的坐标是：（1，$\frac{5}{2}$）；
③当EF=CE时，
∵△CDE∽△EAF，
∴△CDE≌△EAF，
∴CD=EA=5，DE=AF=AD-EA=5$\sqrt{2}$-5，
∴CF=AC-AF=5-（5$\sqrt{2}$-5）=10-5$\sqrt{2}$，
∴F的坐标是：（1，10-5$\sqrt{2}$）．
故答案为（1，5）或（1，$\frac{5}{2}$）或（1，10-5$\sqrt{2}$）．

点评 本题考查了待定系数法求函数的解析式，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质的综合应用，正确证得两个三角形相似是关键．