Question

7．如图①，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm．点P从点A开始沿AB以1cm/s的速度向点B运动，同时点Q从B点开始沿BC以2cm/s的速度向点C运动，当点Q到达点C时运动结束．设移动的时间为t（S）．
（1）如果P、Q分别从A、B同时出发，若△PBQ的面积等于5cm²，求此时t的值；
（2）如图②，若点Q到达点C后继续沿CA运动，当点P到达点B时运动结束，求当△PBQ的面积等于5cm²时t的值．

Answer 1

分析 （1）运动所求的时间t，可将BP和BQ的长表示出来，代入三角形面积公式，列出等式，可将时间求出；
（2）设出经t秒，点P移动到AC上，有PB=6-t，AQ=（18-2t）cm，过Q作QD⊥AB，垂足为D，由△AQD∽△ABC得$\frac{QD}{8}$=$\frac{AQ}{AC}$，即QD=$\frac{8（18-2t）}{10}$，代入三角形面积公式，列出等式，可将时间求出．

解答 解：（1）设经过t秒，△PBQ的面积等于5cm²则：
BP=6-t，BQ=2t，
所以S_△PBQ=$\frac{1}{2}$×（6-t）×2t=5，
即t²-6t+5=0，
解得：t=1或t=5（不合题意，舍去），
即经过1秒时，△PBQ的面积等于5cm²．
（2）设出经t秒，点P移动到AC上，
则PB=6-t，AQ=（2t-8）cm，
如图②，

过Q作QD⊥AB，垂足为D，
∵△AQD∽△ABC，
∴$\frac{QD}{8}$=$\frac{AQ}{AC}$，
即QD=$\frac{8（18-2t）}{10}$，
$\frac{1}{2}$×（6-t）×$\frac{8（18-2t）}{10}$=5
解得t=$\frac{15±\sqrt{34}}{2}$，
当t=$\frac{15+\sqrt{34}}{2}$时，2t＞18，不合题意，舍去；
当t=$\frac{15-\sqrt{34}}{2}$时，符合题意．
所以当△PBQ的面积等于5cm²时t=$\frac{15-\sqrt{34}}{2}$．

点评 本题考查一元二次方程的实际运用，主要是根据三角形的面积公式列出一元二次方程，关键是表示出PB和高的长．